题目
写出与圆x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的一条直线的方程 ____ ．
写出与圆x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的一条直线的方程 ____ ．
题目解答
答案
解：圆x2+y2=1的圆心坐标为O（0，0），半径r1=1，
圆（x-3）2+（y-4）2=16的圆心坐标为C（3，4），半径r2=4，
如图：
∵|OC|=r1+r2，∴两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．
∵${k}_{OC}=\frac{4}{3}$，∴l1的斜率为$-\frac{3}{4}$，设直线l1：y=-$\frac{3}{4}x+b$，即3x+4y-4b=0，
由$\frac{|-4b|}{5}=1$，解得b=$\frac{5}{4}$（负值舍去），则l1：3x+4y-5=0；
由图可知，l2：x=-1；l2与l3关于直线y=$\frac{4}{3}x$对称，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=\frac{4}{3}x}\end{array}\right.$，解得l2与l3的一个交点为（-1，$-\frac{4}{3}$），在l2上取一点（-1，0），
该点关于y=$\frac{4}{3}x$的对称点为（x0，y0），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}_{0}}{2}=\frac{4}{3}•\frac{{x}_{0}-1}{2}}\\{\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，解得对称点为（$\frac{7}{25}$，-$\frac{24}{25}$）．
∴${k}_{{l}_{3}}=\frac{-\frac{24}{25}+\frac{4}{3}}{\frac{7}{25}+1}$=$\frac{7}{24}$，则l3：y=$\frac{7}{24}（x+1）-\frac{4}{3}$，即7x-24y-25=0．
∴与圆x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的一条直线的方程为：
x=-1（填3x+4y-5=0，7x-24y-25=0都正确）．
故答案为：x=-1（填3x+4y-5=0，7x-24y-25=0都正确）．
圆（x-3）2+（y-4）2=16的圆心坐标为C（3，4），半径r2=4，
如图：
∵|OC|=r1+r2，∴两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．
∵${k}_{OC}=\frac{4}{3}$，∴l1的斜率为$-\frac{3}{4}$，设直线l1：y=-$\frac{3}{4}x+b$，即3x+4y-4b=0，
由$\frac{|-4b|}{5}=1$，解得b=$\frac{5}{4}$（负值舍去），则l1：3x+4y-5=0；
由图可知，l2：x=-1；l2与l3关于直线y=$\frac{4}{3}x$对称，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=\frac{4}{3}x}\end{array}\right.$，解得l2与l3的一个交点为（-1，$-\frac{4}{3}$），在l2上取一点（-1，0），
该点关于y=$\frac{4}{3}x$的对称点为（x0，y0），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}_{0}}{2}=\frac{4}{3}•\frac{{x}_{0}-1}{2}}\\{\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，解得对称点为（$\frac{7}{25}$，-$\frac{24}{25}$）．
∴${k}_{{l}_{3}}=\frac{-\frac{24}{25}+\frac{4}{3}}{\frac{7}{25}+1}$=$\frac{7}{24}$，则l3：y=$\frac{7}{24}（x+1）-\frac{4}{3}$，即7x-24y-25=0．
∴与圆x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的一条直线的方程为：
x=-1（填3x+4y-5=0，7x-24y-25=0都正确）．
故答案为：x=-1（填3x+4y-5=0，7x-24y-25=0都正确）．
解析
步骤 1：确定两圆的圆心和半径
圆x^{2}+y^{2}=1的圆心为O（0，0），半径r_1=1；
圆（x-3）^{2}+（y-4）^{2}=16的圆心为C（3，4），半径r_2=4。
步骤 2：判断两圆的位置关系
计算两圆心之间的距离|OC|，并判断两圆的位置关系。
|OC| = $\sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$。
因为|OC| = r_1 + r_2，所以两圆外切。
步骤 3：确定与两圆都相切的直线
两圆外切，所以与两圆都相切的直线有三条。其中一条是垂直于两圆心连线的直线，另外两条是与两圆心连线成一定角度的直线。
步骤 4：求解垂直于两圆心连线的直线
两圆心连线的斜率为$k_{OC} = \frac{4}{3}$，所以垂直于两圆心连线的直线的斜率为$-\frac{3}{4}$。设直线方程为$y = -\frac{3}{4}x + b$，即$3x + 4y - 4b = 0$。
由点到直线的距离公式，得$\frac{|-4b|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 1$，解得$b = \frac{5}{4}$（负值舍去），则直线方程为$3x + 4y - 5 = 0$。
步骤 5：求解另外两条直线
另外两条直线分别与两圆心连线成一定角度，其中一条为$x = -1$，另一条为$7x - 24y - 25 = 0$。
圆x^{2}+y^{2}=1的圆心为O（0，0），半径r_1=1；
圆（x-3）^{2}+（y-4）^{2}=16的圆心为C（3，4），半径r_2=4。
步骤 2：判断两圆的位置关系
计算两圆心之间的距离|OC|，并判断两圆的位置关系。
|OC| = $\sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$。
因为|OC| = r_1 + r_2，所以两圆外切。
步骤 3：确定与两圆都相切的直线
两圆外切，所以与两圆都相切的直线有三条。其中一条是垂直于两圆心连线的直线，另外两条是与两圆心连线成一定角度的直线。
步骤 4：求解垂直于两圆心连线的直线
两圆心连线的斜率为$k_{OC} = \frac{4}{3}$，所以垂直于两圆心连线的直线的斜率为$-\frac{3}{4}$。设直线方程为$y = -\frac{3}{4}x + b$，即$3x + 4y - 4b = 0$。
由点到直线的距离公式，得$\frac{|-4b|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 1$，解得$b = \frac{5}{4}$（负值舍去），则直线方程为$3x + 4y - 5 = 0$。
步骤 5：求解另外两条直线
另外两条直线分别与两圆心连线成一定角度，其中一条为$x = -1$，另一条为$7x - 24y - 25 = 0$。