题目
若 lim_(n to infty) (b_n)/(a_n) = 1，则级数 sum_(n=1)^infty a_n 收敛是 sum_(n=1)^infty b_n 收敛的:A. 必要非充分条件B. 充分非必要条件C. 充分且必要条件D. 既非充分也非必要条件
若 $\lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{a_n} = 1$，则级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 收敛是 $\sum_{n=1}^\infty b_n$ 收敛的:
A. 必要非充分条件
B. 充分非必要条件
C. 充分且必要条件
D. 既非充分也非必要条件
题目解答
答案
C. 充分且必要条件
解析
步骤 1：极限比较测试
极限比较测试指出，如果$\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n}}{a_{n}}=L$，其中$L$是一个正的有限数，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$和$\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$要么都收敛，要么都发散。
步骤 2：应用极限比较测试
在这个问题中，$\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n}}{a_{n}}=1$，这是一个正的有限数。因此，根据极限比较测试，级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$收敛当且仅当级数$\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$收敛。
步骤 3：确定条件类型
这意味着级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$收敛是级数$\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$收敛的充分且必要条件。
极限比较测试指出，如果$\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n}}{a_{n}}=L$，其中$L$是一个正的有限数，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$和$\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$要么都收敛，要么都发散。
步骤 2：应用极限比较测试
在这个问题中，$\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n}}{a_{n}}=1$，这是一个正的有限数。因此，根据极限比较测试，级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$收敛当且仅当级数$\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$收敛。
步骤 3：确定条件类型
这意味着级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$收敛是级数$\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$收敛的充分且必要条件。