题目
13-25 如题 13-25 图所示系统,物块A质量为3m,均质圆盘B与均质圆柱C质量均为-|||-m,半径均为R,弹簧刚度系数为k,初始时系统静止,弹簧为原长。系统由静止释放后,圆柱C-|||-做纯滚动。斜面倾角为30°,弹簧与绳的倾斜段与斜面平行。试求当物块A下降距离为s(未-|||-达最低位置)时圆柱质心C的速度、加速度以及两段绳中的拉力。-|||-k-|||-C-|||-30° B-|||-A-|||-square
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定系统能量守恒
系统由静止释放后，物块A下降，圆柱C做纯滚动，弹簧被拉伸。根据能量守恒定律，系统的机械能守恒。初始时，系统的机械能为零，当物块A下降距离为s时，系统的机械能包括物块A的重力势能、圆柱C的动能和弹簧的弹性势能。
步骤 2：计算物块A的重力势能
物块A下降距离为s时，其重力势能为$3mg\cdot s$。
步骤 3：计算圆柱C的动能
圆柱C做纯滚动，其动能包括平动动能和转动动能。平动动能为$\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}$，转动动能为$\frac{1}{2}I{\omega }^{2}$，其中$I=\frac{1}{2}m{R}^{2}$，$\omega =\frac{{v}_{c}}{R}$。因此，圆柱C的动能为$\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}m{R}^{2}\cdot \frac{{v}_{c}^{2}}{{R}^{2}}=\frac{3}{4}m{v}_{c}^{2}$。
步骤 4：计算弹簧的弹性势能
弹簧被拉伸的距离为s，其弹性势能为$\frac{1}{2}k{s}^{2}$。
步骤 5：应用能量守恒定律
根据能量守恒定律，有$3mg\cdot s=\frac{3}{4}m{v}_{c}^{2}+\frac{1}{2}k{s}^{2}$，解得${v}_{c}=\sqrt{\frac{7}{5}gs-\frac{k{s}^{2}}{5m}}$。
步骤 6：计算圆柱C的加速度
根据牛顿第二定律，有$3mg\cdot \sin 30°-k\cdot s=3m{a}_{c}$，解得${a}_{c}=\frac{7}{10}g-\frac{ks}{5m}$。
步骤 7：计算两段绳中的拉力
根据牛顿第二定律，有${F}_{r1}=3m{a}_{c}+3mg$，${F}_{r2}=3mg+\frac{7}{2}m{a}_{c}$。
系统由静止释放后，物块A下降，圆柱C做纯滚动，弹簧被拉伸。根据能量守恒定律，系统的机械能守恒。初始时，系统的机械能为零，当物块A下降距离为s时，系统的机械能包括物块A的重力势能、圆柱C的动能和弹簧的弹性势能。
步骤 2：计算物块A的重力势能
物块A下降距离为s时，其重力势能为$3mg\cdot s$。
步骤 3：计算圆柱C的动能
圆柱C做纯滚动，其动能包括平动动能和转动动能。平动动能为$\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}$，转动动能为$\frac{1}{2}I{\omega }^{2}$，其中$I=\frac{1}{2}m{R}^{2}$，$\omega =\frac{{v}_{c}}{R}$。因此，圆柱C的动能为$\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}m{R}^{2}\cdot \frac{{v}_{c}^{2}}{{R}^{2}}=\frac{3}{4}m{v}_{c}^{2}$。
步骤 4：计算弹簧的弹性势能
弹簧被拉伸的距离为s，其弹性势能为$\frac{1}{2}k{s}^{2}$。
步骤 5：应用能量守恒定律
根据能量守恒定律，有$3mg\cdot s=\frac{3}{4}m{v}_{c}^{2}+\frac{1}{2}k{s}^{2}$，解得${v}_{c}=\sqrt{\frac{7}{5}gs-\frac{k{s}^{2}}{5m}}$。
步骤 6：计算圆柱C的加速度
根据牛顿第二定律，有$3mg\cdot \sin 30°-k\cdot s=3m{a}_{c}$，解得${a}_{c}=\frac{7}{10}g-\frac{ks}{5m}$。
步骤 7：计算两段绳中的拉力
根据牛顿第二定律，有${F}_{r1}=3m{a}_{c}+3mg$，${F}_{r2}=3mg+\frac{7}{2}m{a}_{c}$。