题目
例10 计算 iintlimits_(D)arctan(y)/(x)dsigma，其中D是由圆周x^2+y^2=4,x^2+y^2=1 及直线y=0,y=x所围成的在第一象限内的闭区域.
例10 计算 $\iint\limits_{D}arctan\frac{y}{x}d\sigma$，其中D是由圆周
$x^{2}+y^{2}=4,x^{2}+y^{2}=1$ 及直线y=0,y=x所围成
的在第一象限内的闭区域.
题目解答
答案
在极坐标系中，区域 $D$ 为 $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$，$1 \leq \rho \leq 2$。被积函数变为 $\theta$，面积元素为 $\rho \, d\rho \, d\theta$。
积分计算如下：
\[
\iint\limits_{D} \arctan \frac{y}{x} \, d\sigma = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \int_{1}^{2} \theta \rho \, d\rho \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \theta \left[ \frac{\rho^2}{2} \right]_{1}^{2} d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \theta \cdot \frac{3}{2} d\theta = \frac{3}{2} \left[ \frac{\theta^2}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{3\pi^2}{64}.
\]
答案：$\boxed{\frac{3\pi^2}{64}}$
解析
步骤 1：确定积分区域
区域 $D$ 由圆周 $x^{2}+y^{2}=4$ 和 $x^{2}+y^{2}=1$ 以及直线 $y=0$ 和 $y=x$ 在第一象限内围成。在极坐标系中，$x = \rho \cos \theta$，$y = \rho \sin \theta$，因此 $x^{2}+y^{2} = \rho^{2}$。所以，$1 \leq \rho \leq 2$，$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$。
步骤 2：转换被积函数和面积元素
被积函数 $\arctan \frac{y}{x}$ 在极坐标系中变为 $\arctan \frac{\rho \sin \theta}{\rho \cos \theta} = \arctan \tan \theta = \theta$。面积元素 $d\sigma$ 在极坐标系中变为 $\rho \, d\rho \, d\theta$。
步骤 3：计算二重积分
\[
\iint\limits_{D} \arctan \frac{y}{x} \, d\sigma = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \int_{1}^{2} \theta \rho \, d\rho \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \theta \left[ \frac{\rho^2}{2} \right]_{1}^{2} d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \theta \cdot \frac{3}{2} d\theta = \frac{3}{2} \left[ \frac{\theta^2}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{3\pi^2}{64}.
\]
区域 $D$ 由圆周 $x^{2}+y^{2}=4$ 和 $x^{2}+y^{2}=1$ 以及直线 $y=0$ 和 $y=x$ 在第一象限内围成。在极坐标系中，$x = \rho \cos \theta$，$y = \rho \sin \theta$，因此 $x^{2}+y^{2} = \rho^{2}$。所以，$1 \leq \rho \leq 2$，$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$。
步骤 2：转换被积函数和面积元素
被积函数 $\arctan \frac{y}{x}$ 在极坐标系中变为 $\arctan \frac{\rho \sin \theta}{\rho \cos \theta} = \arctan \tan \theta = \theta$。面积元素 $d\sigma$ 在极坐标系中变为 $\rho \, d\rho \, d\theta$。
步骤 3：计算二重积分
\[
\iint\limits_{D} \arctan \frac{y}{x} \, d\sigma = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \int_{1}^{2} \theta \rho \, d\rho \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \theta \left[ \frac{\rho^2}{2} \right]_{1}^{2} d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \theta \cdot \frac{3}{2} d\theta = \frac{3}{2} \left[ \frac{\theta^2}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{3\pi^2}{64}.
\]