4.微分方程(d^2y)/(dx^2)+y=0的通解是（）. (A)y=A. sin xB. cos xC. sin x+B cos xD. A sin x+B cos x

考查要点：本题主要考查二阶常系数齐次微分方程的解法，特别是特征方程法的应用。
解题核心思路：通过构造特征方程，求解其根，进而根据根的形式写出通解。
破题关键点：

1. 特征方程的构造：将微分方程转化为代数方程 $r^2 + 1 = 0$。
2. 复数根的处理：当特征方程的根为纯虚数时，通解形式为正弦和余弦函数的线性组合。
3. 通解的完整性：二阶微分方程的通解应包含两个独立的任意常数。

步骤1：构造特征方程

将微分方程 $\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0$ 中的 $y''$ 替换为 $r^2$，得到特征方程：
$r^2 + 1 = 0$

步骤2：求解特征方程

解方程 $r^2 + 1 = 0$，得：
$r = \pm i$
此时根为纯虚数，形式为 $r = \alpha \pm \beta i$（其中 $\alpha = 0$，$\beta = 1$）。

步骤3：写出通解形式

对于纯虚根 $r = \pm i\beta$，通解为：
$y = C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x)$
代入 $\beta = 1$，得：
$y = C_1 \cos x + C_2 \sin x$
其中 $C_1$ 和 $C_2$ 为任意常数。
注意：选项中用 $A$ 和 $B$ 表示常数，因此通解可写为：
$y = A \sin x + B \cos x$

选项分析

• 选项D 包含两个任意常数 $A$ 和 $B$，且形式正确。
• 选项C 缺少任意常数 $A$，形式不完整。
• 选项A、B 仅为特解，未包含所有可能的解。