对于微分方程y''+3y'+2y=e^-x，利用待定系数法求其特解y^*时，应设其特解y^*=（）A. Axe^-xB. Ae^-xC. (Ax+B)e^-xD. Ax^2e^-x

本题考查二阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法，关键是先确定非齐次项形式及对应特征根，再根据规则设特解形式。

步骤1：求对应齐次方程的特征根

原方程为 $y'' + 3y' + 2y = e^{-x}$，其对应齐次方程的特征方程为：
$r^2 + 3r + 2 = 0$
因式分解得：
$(r + 1)(r + 2) = 0$
故特征根为 $r_1 = -1$，$r_2 = -2$（均为单根）。

CoA步骤2：分析非齐次项形式

非齐次项 $f(x) = e^{-x}$，属于 $e^{\lambda x}$ 型，其中 $\lambda = -1$。

步骤3：确定特解形式**

根据待定系数法规则：

• 若 $\lambda$ 不是特征根，则设特解为 $y^* = Ae^{\lambda x}$；
• 若 $\lambda$ 是单特征根，则设特解为 $y^* = Axe^{\lambda x}$；
• 若 $\lambda$ 是重特征根，则设特解为 $y^* = Ax^2e^{\lambda x}$。

此处 $\lambda = -1$ 是特征方程的单根（仅 $r_1 = -1$），故特解形式应为 $y^* = Axe^{-x}$。