题目
5. 微分方程 y'' = (1)/(2)y'^2 满足条件 y'(0)=1,y(0)=0 的特解是（） A. e^-(x)/(2) = (y)/(2) + 1 B. e^-(y)/(2) = -(x)/(2) + 1 C. e^-(x)/(2) = 1 - (y)/(2) D. e^-(y)/(2) = (x)/(2) + 1 (单选题 本题5分) 得分：0 A A B B C C D D
5. 微分方程 y'' = $\frac {1}{2}y'^{2} $ 满足条件 y'(0)=1,y(0)=0 的特解是（）
A. $e^{-\frac {x}{2}} = \frac {y}{2} + 1$
B. $e^{-\frac {y}{2}} = -\frac {x}{2} + 1$
C. $e^{-\frac {x}{2}} = 1 - \frac {y}{2}$
D. $e^{-\frac {y}{2}} = \frac {x}{2} + 1$ (单选题 本题5分) 得分：0 A A B B C C D D
A. $e^{-\frac {x}{2}} = \frac {y}{2} + 1$
B. $e^{-\frac {y}{2}} = -\frac {x}{2} + 1$
C. $e^{-\frac {x}{2}} = 1 - \frac {y}{2}$
D. $e^{-\frac {y}{2}} = \frac {x}{2} + 1$ (单选题 本题5分) 得分：0 A A B B C C D D
题目解答
答案
设 $ g(x) = y'(x) $，则原方程变为 $ g'(x) = \frac{1}{2}g(x)^2 $。分离变量得：
\[
\frac{dg}{g^2} = \frac{1}{2}dx \implies -\frac{1}{g} = \frac{x}{2} + C.
\]
由 $ y'(0) = 1 $ 得 $ C = -1 $，故：
\[
g(x) = \frac{2}{2-x}.
\]
积分得：
\[
y(x) = -2\ln|2-x| + C_3.
\]
由 $ y(0) = 0 $ 得 $ C_3 = 2\ln 2 $，从而：
\[
y(x) = 2\ln\frac{2}{2-x} \implies e^{-\frac{y}{2}} = 1 - \frac{x}{2}.
\]
对应选项 **C**。
\[
\boxed{C}
\]