题目
设函数 f(x,y)=(x+y)/(xy)，则 f(x+y,x-y)=().A. (2x)/(y^2-x^2)B. (2x)/(x^2-y^2)C. (x)/(x^2-y^2)D. (2y)/(x^2-y^2)
设函数 $f(x,y)=\frac{x+y}{xy}$，则 $f(x+y,x-y)=$().
A. $\frac{2x}{y^2-x^2}$
B. $\frac{2x}{x^2-y^2}$
C. $\frac{x}{x^2-y^2}$
D. $\frac{2y}{x^2-y^2}$
题目解答
答案
B. $\frac{2x}{x^2-y^2}$
解析
考查要点：本题主要考查函数的复合代入与代数式的化简能力，涉及分式运算和平方差公式的应用。
解题核心思路：
- 明确函数定义：将给定的函数$f(x,y)=\frac{x+y}{xy}$中的变量$x$和$y$替换为$x+y$和$x-y$。
- 代入并展开：分别计算分子（新$x$与新$y$的和）和分母（新$x$与新$y$的积）。
- 化简表达式：利用平方差公式简化分母，并合并分子同类项。
破题关键点：
- 正确代入变量，避免混淆原函数中的$x$和$y$与新代入的表达式。
- 准确应用平方差公式，确保分母化简无误。
- 符号处理，注意分母的展开结果为$x^2 - y^2$，而非$y^2 - x^2$。
将$x+y$和$x-y$代入函数$f(x,y)=\frac{x+y}{xy}$中：
-
计算分子：
$(x+y) + (x-y) = x + y + x - y = 2x$ -
计算分母：
$(x+y)(x-y) = x^2 - y^2 \quad \text{（平方差公式）}$ -
组合结果：
$f(x+y, x-y) = \frac{2x}{x^2 - y^2}$
对比选项，正确答案为B。