题目

1 1 0-|||-设矩阵A= k 1 1 gt ,-|||-3 2 1-|||-若秩 (A)=2, 则 k=-|||-A.3-|||-B.1-|||-.2-|||-.UNDUNDUNDUND

$\begin {aligned} &设矩阵 {A}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ k & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right), \\ &若秩 R({A})=2, 则 k= \\ &A. 3 \\ &B. 1 \\ &C. 2 \\ &D. 无法判定 \end {aligned}$

题目解答

答案

$\begin {aligned} &我们已知矩阵 A 的秩为 2，矩阵 A 为： \\ &A = \left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ k & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right) \\ &要确定矩阵的秩 R(A) ，可以通过计算其行列\\&式来分析矩阵的线性相关性。如果矩阵的行列\\&式为 0，说明它是线性相关的，其秩小于 3。 \\ & 第一步：计算矩阵的行列式 \\ &矩阵 A 的行列式为： \\ &{det}(A) = \left|\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ k & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right| \\ &按照行列式的计算规则： \\ &{det}(A) \\ &= 1 \times \left|\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 2 & 1\end{array}\right| - 1 \times \left|\begin{array}{ll}k & 1 \\ 3 & 1\end{array}\right| \\ &+ 0 \times \left|\begin{array}{ll}k & 1 \\ 3 & 2\end{array}\right| \\ & 第二步：分别计算 2 阶子行列式 \end {aligned}$ $\begin {aligned} &1. 计算 \left|\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 2 & 1\end{array}\right| ： \\ & \left|\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 2 & 1\end{array}\right| \\ &= 1 \times 1 - 1 \times 2 = 1 - 2 = -1 \\ &2. 计算 \left|\begin{array}{ll}k & 1 \\ 3 & 1\end{array}\right| ： \\ & \left|\begin{array}{ll}k & 1 \\ 3 & 1\end{array}\right| \\ &= k \times 1 - 1 \times 3 = k - 3 \\ & 第三步：将子行列式代入原式 \\ &将计算出的子行列式代入行列式公式： \\ &{det}(A) \\ & = 1 \times (-1) - 1 \times (k - 3) + 0 \\ &= -1 - (k - 3) = -1 - k + 3 = 2 - k \\ & 第四步：根据行列式为 0 求解 k \\ &由于题目给出的条件是矩阵的秩 R(A) = 2 ，即\\&行列式为 0，因此： \\ &2 - k = 0 \\ &解得： \\ &k = 2 \\ & 最终答案： \\ &\boxed{C. 2} \end {aligned}$

解析

步骤 1：计算矩阵A的行列式
矩阵A的行列式为：det(A) = 1× 1 1 2 1 1× k 1 3 1 +0× k 1 3 2
步骤 2：分别计算2阶子行列式
1. 计算 $|\begin{matrix} 1& 1\\ 2& 1\end{matrix} |$ 1 1 2 1 $=1\times 1-1\times 2=1-2=-1$
2. 计算 k 1 : 3 1 k 1 3 1 $=k\times 1-1\times 3=k-3$
步骤 3：将子行列式代入原式
将计算出的子行列式代入行列式公式：det(A) $=1\times (-1)-1\times (k-3)+0$ =-1-(k-3)=-1-k+3=2-k
步骤 4：根据行列式为0求解k
由于题目给出的条件是矩阵的秩 R(A)=2 ,即行列式为0,因此：2-k=0 解得：k=2