题目

【P38-例2】若lim_(xto-infty)(sqrt(x^2)+x+1+ax+b)=0,求a,b.

【P38-例2】若 $\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x+1}+ax+b\right)=0,$ 求a,b.

题目解答

答案

将原式有理化：
$\lim_{x \to -\infty} \frac{(x^2 + x + 1) - (ax + b)^2}{\sqrt{x^2 + x + 1} - ax - b}$
分子化简为：
$(1 - a^2)x^2 + (1 - 2ab)x + (1 - b^2)$
为使极限为0，分子最高次项系数须为0，即 $1 - a^2 = 0$，解得 $a = \pm 1$。

  • 当 $a = 1$ 时，分子变为 $(1 - 2b)x + (1 - b^2)$，需 $1 - 2b = 0$，得 $b = \frac{1}{2}$。
  • 当 $a = -1$ 时，分子变为 $(1 + 2b)x + (1 - b^2)$，无法满足极限为0。

答案：
$\boxed{a = 1, b = \frac{1}{2}}$

解析

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是当变量趋向于无穷时，如何通过有理化处理和多项式展开来确定参数的值。关键在于理解最高次项系数对极限的影响，以及如何通过分式化简找到参数的约束条件。

解题思路：

  1. 有理化处理：将原式乘以共轭表达式，消去根号，转化为分式形式。
  2. 分子展开：展开分子多项式，分析最高次项系数，确保极限为0的条件。
  3. 分步求解：通过逐次令高次项系数为0，确定参数$a$和$b$的值，并验证解的合理性。

破题关键：

  • 最高次项系数为0：分子中二次项系数必须为0，否则极限无法趋向于0。
  • 分步消去低次项：在$a$确定后，进一步令一次项系数为0，确保剩余项不影响极限结果。

步骤1：有理化处理
原式为$\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x+1}+ax+b\right)=0$，将其有理化：
$\lim_{x \to -\infty} \frac{(x^2 + x + 1) - (ax + b)^2}{\sqrt{x^2 + x + 1} - ax - b}$

步骤2：展开分子
分子展开为：
$(1 - a^2)x^2 + (1 - 2ab)x + (1 - b^2)$

步骤3：分析最高次项系数
为使极限为0，分子中二次项系数必须为0：
$1 - a^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = \pm 1$

步骤4：分情况讨论

  • 当$a = 1$时：分子变为$(1 - 2b)x + (1 - b^2)$，需一次项系数为0：
    $1 - 2b = 0 \quad \Rightarrow \quad b = \frac{1}{2}$

  • 当$a = -1$时：分子变为$(1 + 2b)x + (1 - b^2)$，无论$b$取何值，一次项系数无法为0，故舍去。

结论：唯一解为$a = 1$，$b = \frac{1}{2}$。