两相同的轻质弹簧一端固定，另一端分别固定在质量比为4：1的两个物体上，置于光滑的水平面上，如果他们都在水平方向以振幅比1：2做简谐振动，则两物体最大速率之比为( )A. 4：1B. 2：1C. 1：2D. 1：4

本题考查简谐振动中最大速率的计算，核心在于理解简谐振动的总机械能守恒以及最大速率与振幅、质量的关系。关键点如下：

1. 简谐振动的总机械能为 $E = \frac{1}{2}kA^2$，其中 $A$ 是振幅，$k$ 是弹簧劲度系数。
2. 最大速率出现在平衡位置，此时动能最大，即 $\frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2 = \frac{1}{2}kA^2$，可得 $v_{\text{max}} = A\sqrt{\frac{k}{m}}$。
3. 通过比较两物体的振幅、质量及相同弹簧劲度系数，代入公式即可求出速率之比。

公式推导

根据简谐振动的最大速率公式：
$v_{\text{max}} = A\sqrt{\frac{k}{m}}$
其中：

• $A$ 是振幅，
• $k$ 是弹簧劲度系数，
• $m$ 是物体质量。

比值计算

设两物体的参数分别为：

• 物体1：振幅 $A_1$，质量 $m_1$，
• 物体2：振幅 $A_2$，质量 $m_2$。

最大速率之比为：
$\frac{v_{1,\text{max}}}{v_{2,\text{max}}} = \frac{A_1\sqrt{\frac{k}{m_1}}}{A_2\sqrt{\frac{k}{m_2}}} = \frac{A_1}{A_2} \cdot \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$

代入已知条件

题目给出：

• 振幅比 $A_1 : A_2 = 1 : 2$，
• 质量比 $m_1 : m_2 = 4 : 1$。

代入公式：
$\frac{v_{1,\text{max}}}{v_{2,\text{max}}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$