1.17 设lim_(xto1)(x^2+ax+b)/(sin(x^2)-1)=3，则a,b=（）A. 4,5B. -5,4C. 4,-5D. -4,5

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是利用洛必达法则处理$\frac{0}{0}$型不定式，以及通过代数方程求解参数的能力。

解题核心思路：

1. 确定分子在$x=1$处为零：由于分母$\sin(x^2-1)$在$x=1$时为0，若极限存在且为有限值，分子$x^2+ax+b$在$x=1$处也必须为0，从而得到方程$a + b = -1$。
2. 应用洛必达法则：将分子分母分别求导，化简后得到关于$a$的方程，结合已知极限值求解$a$，最终代入方程求$b$。

破题关键点：

• 分子零点条件：确保极限存在。
• 导数计算与方程联立：通过洛必达法则和极限值建立方程组。

步骤1：确定分子在$x=1$处为零

当$x \to 1$时，分母$\sin(x^2 -1) \to \sin(0) = 0$。若极限存在且为有限值，则分子$x^2 + ax + b$在$x=1$处也必须为0：
$1^2 + a \cdot 1 + b = 0 \implies a + b = -1.$

步骤2：应用洛必达法则

分子和分母在$x=1$处均为0，满足$\frac{0}{0}$型不定式，对分子分母分别求导：

• 分子导数：$f'(x) = 2x + a$
• 分母导数：$g'(x) = \cos(x^2 -1) \cdot 2x$

极限变为：
$\lim_{x \to 1} \frac{2x + a}{\cos(x^2 -1) \cdot 2x}.$

代入$x=1$，$\cos(1^2 -1) = \cos(0) = 1$，化简得：
$\lim_{x \to 1} \frac{2x + a}{2x} = \frac{2 \cdot 1 + a}{2 \cdot 1} = \frac{2 + a}{2}.$

根据题意，该极限等于3：
$\frac{2 + a}{2} = 3 \implies 2 + a = 6 \implies a = 4.$

步骤3：求$b$的值

将$a=4$代入$a + b = -1$：
$4 + b = -1 \implies b = -5.$