题目
设二维随机变量 (X,Y) 的概率密度函数为 f(x,y)，令 Z=2X+Y，则 Z 的分布为A. f_z(z)=int_(-infty)^+inftyf(x,z-2x)dxB. f_z(z)=int_(-infty)^+inftyf(x,z+2x)dxC. f_z(z)=int_(-infty)^+inftyf(z-x,x)dxD. f_z(z)=int_(-infty)^+inftyf(z+x,x)dx
设二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率密度函数为 $f(x,y)$，令 $Z=2X+Y$，则 $Z$ 的分布为
A. $f_z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-2x)dx$
B. $f_z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z+2x)dx$
C. $f_z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(z-x,x)dx$
D. $f_z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(z+x,x)dx$
题目解答
答案
A. $f_z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-2x)dx$
解析
步骤 1：定义变换
令 $Z = 2X + Y$，则 $Y = Z - 2X$。这是将 $Z$ 表达为 $X$ 和 $Y$ 的函数，以便于后续的积分计算。
步骤 2：代入联合概率密度函数
将 $Y = Z - 2X$ 代入联合概率密度函数 $f(x, y)$，得到 $f(x, z - 2x)$。这是将 $Y$ 的表达式代入到联合概率密度函数中，以便于计算 $Z$ 的概率密度函数。
步骤 3：计算 $Z$ 的概率密度函数
对 $X$ 积分求得 $Z$ 的概率密度函数：\[ f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, z - 2x) \, dx \] 这是通过积分计算 $Z$ 的概率密度函数，其中积分变量为 $X$，积分范围为 $-\infty$ 到 $+\infty$。
令 $Z = 2X + Y$，则 $Y = Z - 2X$。这是将 $Z$ 表达为 $X$ 和 $Y$ 的函数，以便于后续的积分计算。
步骤 2：代入联合概率密度函数
将 $Y = Z - 2X$ 代入联合概率密度函数 $f(x, y)$，得到 $f(x, z - 2x)$。这是将 $Y$ 的表达式代入到联合概率密度函数中，以便于计算 $Z$ 的概率密度函数。
步骤 3：计算 $Z$ 的概率密度函数
对 $X$ 积分求得 $Z$ 的概率密度函数：\[ f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, z - 2x) \, dx \] 这是通过积分计算 $Z$ 的概率密度函数，其中积分变量为 $X$，积分范围为 $-\infty$ 到 $+\infty$。