题目

填空题（共15题，30.0分）题型说明：共15题，每题2分。28.（2.0分）lim_(xto0)(1+2x)^(1)/(x)=

填空题（共15题，30.0分） 题型说明：共15题，每题2分。 28.（2.0分）$\lim_{x\to0}(1+2x)^{\frac{1}{x}}=$

题目解答

答案

利用已知极限公式 $\lim_{x \to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}} = e$，将原式改写为： \[ \lim_{x \to 0}(1+2x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0}\left[(1+2x)^{\frac{1}{2x}}\right]^2 = e^2 \] 或者，取对数后利用近似 $\ln(1+u) \approx u$（$u$ 很小）： \[ \ln y = \frac{1}{x} \ln(1+2x) \approx \frac{1}{x} \cdot 2x = 2 \quad \Rightarrow \quad y \to e^2 \] **答案：** $\boxed{e^2}$

解析

本题考查极限的计算，核心思路是利用已知的极限公式 $\lim_{x \to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}} = e$，通过变形将题目中的表达式转化为标准形式。关键在于调整指数中的系数，使其与底数中的增量匹配，或者通过取对数的方法简化运算。

方法一：变量替换法

  1. 观察底数与指数的关系
    原式为 $(1+2x)^{\frac{1}{x}}$，其中底数的增量为 $2x$，指数为 $\frac{1}{x}$。

  2. 调整指数形式
    将原式改写为：
    $\lim_{x \to 0}(1+2x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0}\left[(1+2x)^{\frac{1}{2x}}\right]^2$
    此时底数部分 $(1+2x)^{\frac{1}{2x}}$ 符合标准极限形式，其极限为 $e$。

  3. 计算最终结果
    因此，原式等于 $e^2$。

方法二：取对数法

  1. 设原式为 $y$ 并取对数
    设 $y = (1+2x)^{\frac{1}{x}}$，则：
    $\ln y = \frac{1}{x} \ln(1+2x)$

  2. 利用等价无穷小替换
    当 $x \to 0$ 时，$\ln(1+2x) \approx 2x$，代入得：
    $\ln y \approx \frac{1}{x} \cdot 2x = 2$

  3. 求指数还原结果
    因此，$y \to e^2$。