题目
过点 (1,1,1)且与平面 x-y+z=7 平面 3x+2y-12z+5=0 垂直的平面方程是（）。A. 2x-3y-z+6=0B. 2x+3y+z-6=0C. 2x-3y+z+6=0D. 2x+3y-z-6=0
过点 (1,1,1)且与平面 x-y+z=7 平面 3x+2y-12z+5=0 垂直的平面方程是（）。
A. 2x-3y-z+6=0
B. 2x+3y+z-6=0
C. 2x-3y+z+6=0
D. 2x+3y-z-6=0
题目解答
答案
B. 2x+3y+z-6=0
解析
步骤 1：确定平面法向量
平面 x-y+z=7 的法向量为 n1 = (1, -1, 1)，平面 3x+2y-12z+5=0 的法向量为 n2 = (3, 2, -12)。因为所求平面与这两个平面垂直，所以所求平面的法向量 n 必须同时垂直于 n1 和 n2。因此，n 可以通过 n1 和 n2 的叉乘得到。
步骤 2：计算法向量 n
n = n1 × n2 = (1, -1, 1) × (3, 2, -12) = ((-1)(-12) - (1)(2), (1)(3) - (1)(-12), (1)(2) - (-1)(3)) = (10, 15, 5)。
步骤 3：确定平面方程
已知平面的法向量 n = (10, 15, 5) 和平面上的一点 (1, 1, 1)，可以使用点法式方程来确定平面方程。点法式方程为：10(x-1) + 15(y-1) + 5(z-1) = 0，化简得到：10x + 15y + 5z - 30 = 0，即 2x + 3y + z - 6 = 0。
平面 x-y+z=7 的法向量为 n1 = (1, -1, 1)，平面 3x+2y-12z+5=0 的法向量为 n2 = (3, 2, -12)。因为所求平面与这两个平面垂直，所以所求平面的法向量 n 必须同时垂直于 n1 和 n2。因此，n 可以通过 n1 和 n2 的叉乘得到。
步骤 2：计算法向量 n
n = n1 × n2 = (1, -1, 1) × (3, 2, -12) = ((-1)(-12) - (1)(2), (1)(3) - (1)(-12), (1)(2) - (-1)(3)) = (10, 15, 5)。
步骤 3：确定平面方程
已知平面的法向量 n = (10, 15, 5) 和平面上的一点 (1, 1, 1)，可以使用点法式方程来确定平面方程。点法式方程为：10(x-1) + 15(y-1) + 5(z-1) = 0，化简得到：10x + 15y + 5z - 30 = 0，即 2x + 3y + z - 6 = 0。