设二维连续型随机变量 (X,Y) 的联合密度函数为 f(x,y) = } a(2-x)y, & 0 A. 4.8B. 4C. 8.4D. 8

本题考查二维连续型随机变量联合密度函数的性质，解题思路是利用联合密度函数在整个平面上的二重积分为$1$这一性质来求解常数$a$。

已知二维连续型随机变量$(X,Y)$的联合密度函数$f(x,y)$满足$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy = 1$。
对于本题给定的联合密度函数$f(x,y) = \begin{cases} a(2 - x)y, & 0 < x < 1, 0 < y < x \\ 0, & \text{其它} \end{cases}$，则有：
$\begin{align*}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy&=\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}a(2 - x)y\ dy\ dx\\&=a\int_{0}^{1}(2 - x)\left(\int_{0}^{x}y\ dy\right)dx\end{align*}$
先计算内层积分$\int_{0}^{x}y\ dy$，根据积分公式$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C(n\neq -1)$可得：
$\int_{0}^{x}y\ dy=\left[\frac{1}{2}y^2\right]_{0}^{x}=\frac{1}{2}x^2$
将其代入上式可得：
$\begin{align*}a\int_{0}^{1}(2 - x)\left(\int_{0}^{x}y\ dy\right)dx&=a\int_{0}^{1}(2 - x)\cdot\frac{1}{2}x^2\ dx\\&=\frac{a}{2}\int_{0}^{1}(2x^2 - x^3)\ dx\end{align*}$
再计算外层积分$\frac{a}{2}\int_{0}^{1}(2x^2 - x^3)\ dx$：
$\begin{align*}\frac{a}{2}\int_{0}^{1}(2x^2 - x^3)\ dx&=\frac{a}{2}\left(\int_{0}^{1}2x^2\ dx - \int_{0}^{1}x^3\ dx\right)\\&=\frac{a}{2}\left(2\times\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{1}-\left[\frac{1}{4}x^4\right]_{0}^{1}\right)\\&=\frac{a}{2}\left(2\times\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)\\&=\frac{a}{2}\left(\frac{8}{12}-\frac{3}{12}\right)\\&=\frac{a}{2}\times\frac{5}{12}\\&=\frac{5a}{24}\end{align*}$
因为$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy = 1$，所以$\frac{5a}{24}=1$，解得$a = \frac{24}{5}=4.8$。