(5)lim _(xarrow 0)dfrac ({(1+2x))^2x-1}({x)^2}(6

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是涉及指数函数与泰勒展开的综合应用。关键在于将复杂的指数表达式转化为易于处理的形式，并利用等价无穷小或泰勒展开进行化简。

解题核心思路：

1. 转换表达式：将$(1+2x)^{2x}$写成指数形式$e^{2x \ln(1+2x)}$，便于展开。
2. 泰勒展开：对$\ln(1+2x)$展开到足够阶数，再代入指数函数展开。
3. 化简分子：通过展开后的表达式计算分子$(1+2x)^{2x} -1$，保留到$x^2$的项。
4. 求极限：将分子与分母$x^2$相除，消去高阶无穷小，得到最终结果。

步骤1：转换指数表达式

将$(1+2x)^{2x}$改写为指数形式：
$(1+2x)^{2x} = e^{2x \ln(1+2x)}$

步骤2：展开$\ln(1+2x)$

利用泰勒展开，当$x \rightarrow 0$时：
$\ln(1+2x) = 2x - \frac{(2x)^2}{2} + \frac{(2x)^3}{3} - \cdots \approx 2x - 2x^2 + \frac{8x^3}{3}$
保留到$x^2$项，得：
$\ln(1+2x) \approx 2x - 2x^2$

步骤3：代入指数函数并展开

将展开后的$\ln(1+2x)$代入指数函数：
$2x \ln(1+2x) \approx 2x \cdot (2x - 2x^2) = 4x^2 - 4x^3$
进一步展开$e^{4x^2 - 4x^3}$到$x^2$项：
$e^{4x^2 - 4x^3} \approx 1 + (4x^2 - 4x^3) + \frac{(4x^2)^2}{2} = 1 + 4x^2 - 4x^3 + 8x^4$

步骤4：计算分子并化简

分子部分为：
$(1+2x)^{2x} - 1 \approx (1 + 4x^2 - 4x^3 + 8x^4) - 1 = 4x^2 - 4x^3 + 8x^4$
代入原式并化简：
$\frac{4x^2 - 4x^3 + 8x^4}{x^2} = 4 - 4x + 8x^2$

步骤5：取极限

当$x \rightarrow 0$时，$-4x$和$8x^2$趋近于0，因此：
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1+2x)^{2x} -1}{x^2} = 4$