定积分 int_(0)^5 (x^3)/(x^2)+1 d x= ( )A. (2)/(25)-(1)/(2) ln 26B. (2)/(25)+(1)/(2) ln 26C. (25)/(2)-(1)/(2) ln 26D. (25)/(2)+(1)/(2) ln 26

为了计算定积分 $\int_{0}^{5} \frac{x^3}{x^2+1} dx$，我们可以先对被积函数进行代数变形。

第一步：化简被积函数
由于分子 $x^3$ 的次数高于分母 $x^2+1$ 的次数，我们可以使用多项式除法或凑项法将其化简。
$\frac{x^3}{x^2+1} = \frac{x^3 + x - x}{x^2+1} = \frac{x(x^2+1) - x}{x^2+1} = x - \frac{x}{x^2+1}$

第二步：代入积分并计算
将化简后的表达式代入原积分中：
$\int_{0}^{5} \frac{x^3}{x^2+1} dx = \int_{0}^{5} \left( x - \frac{x}{x^2+1} \right) dx$
利用积分的线性性质，将其拆分为两个积分：
$= \int_{0}^{5} x dx - \int_{0}^{5} \frac{x}{x^2+1} dx$

第三步：分别计算两个积分

1. 计算第一个积分：
   $\int_{0}^{5} x dx = \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{5} = \frac{1}{2}(5^2) - \frac{1}{2}(0^2) = \frac{25}{2}$

2. 计算第二个积分：
   对于 $\int_{0}^{5} \frac{x}{x^2+1} dx$，我们可以使用凑微分法。注意到 $d(x^2+1) = 2x dx$，所以 $x dx = \frac{1}{2} d(x^2+1)$。
   $\int_{0}^{5} \frac{x}{x^2+1} dx = \int_{0}^{5} \frac{1}{x^2+1} \cdot \frac{1}{2} d(x^2+1) = \frac{1}{2} \int_{0}^{5} \frac{1}{x^2+1} d(x^2+1)$
   $= \frac{1}{2} \left[ \ln(x^2+1) \right]_{0}^{5}$
   $= \frac{1}{2} (\ln(5^2+1) - \ln(0^2+1))$
   $= \frac{1}{2} (\ln 26 - \ln 1)$
   由于 $\ln 1 = 0$，所以该积分结果为：
   $= \frac{1}{2} \ln 26$

第四步：得出最终结果
将两部分的结果相减：
$\int_{0}^{5} \frac{x^3}{x^2+1} dx = \frac{25}{2} - \frac{1}{2} \ln 26$

对比给出的选项，该结果与选项 C 一致。

正确答案是 C。