(9)已知 lim _(xarrow a)f(x)=lim _(xarrow a)g(x), 则 lim _(xarrow a)dfrac (f(x))(g(x))=() ;-|||-(A)1 (B)0 (C)∞ (D)不能确定

考查要点：本题主要考查极限运算中的不定型判断，特别是当分子和分母同时趋于0或无穷大时，比值的极限可能存在多种情况。

解题核心思路：
当$\lim _{x\rightarrow a}f(x)=\lim _{x\rightarrow a}g(x)=L$时，若$L \neq 0$，则$\lim \frac{f(x)}{g(x)}=1$；但若$L=0$，则$\frac{f(x)}{g(x)}$的极限可能因具体函数形式不同而变化，无法唯一确定。

破题关键点：

• 区分极限值是否为零：若极限值非零，比值极限为1；若极限值为零，需进一步分析分子分母的趋近速度，此时可能出现不同结果（如0、无穷大、震荡无极限等）。
• 构造反例验证：通过构造不同函数对，说明结果的不确定性。

关键分析步骤：

1. 当$L \neq 0$时：
   若$\lim _{x\rightarrow a}f(x)=\lim _{x\rightarrow a}g(x)=L \neq 0$，则根据极限运算法则，
   $\lim _{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{L} = 1.$
   此时答案为A。

2. 当$L = 0$时：
   此时$\frac{f(x)}{g(x)}$的极限可能因$f(x)$和$g(x)$的具体形式不同而变化，例如：

   • 情况1：若$f(x)=x-a$，$g(x)=(x-a)^2$，则
     $\lim _{x\rightarrow a}\frac{x-a}{(x-a)^2} = \lim _{x\rightarrow a}\frac{1}{x-a} = +\infty.$
     此时极限为无穷大（选项C）。
   • 情况2：若$f(x)=(x-a)^2$，$g(x)=x-a$，则
     $\lim _{x\rightarrow a}\frac{(x-a)^2}{x-a} = \lim _{x\rightarrow a}(x-a) = 0.$
     此时极限为0（选项B）。
   • 情况3：若$f(x)=x-a$，$g(x)=-(x-a)$，则
     $\lim _{x\rightarrow a}\frac{x-a}{-(x-a)} = \lim _{x\rightarrow a}(-1) = -1.$
     此时极限为-1（不在选项中，说明结果可能更复杂）。

结论：
由于题目未明确$f(x)$和$g(x)$的具体形式，当$L=0$时可能出现不同结果，因此$\lim \frac{f(x)}{g(x)}$不能确定，正确答案为D。