题目
求lim _(narrow infty )(dfrac (1)(3)+dfrac (1)({3)^2}+... +dfrac (1)({3)^n}) __
题目解答
答案
解析
步骤 1：识别数列类型
数列$\dfrac {1}{3}+\dfrac {1}{{3}^{2}}+\cdots +\dfrac {1}{{3}^{n}}$是一个等比数列，其中首项$a_1=\dfrac{1}{3}$，公比$q=\dfrac{1}{3}$。
步骤 2：应用等比数列求和公式
等比数列的前$n$项和公式为$S_n=\dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，其中$a_1$是首项，$q$是公比，$n$是项数。
步骤 3：计算极限
当$n\rightarrow \infty$时，$q^n\rightarrow 0$（因为$|q|<1$），所以$\lim _{n\rightarrow \infty }S_n=\dfrac{a_1}{1-q}$。
数列$\dfrac {1}{3}+\dfrac {1}{{3}^{2}}+\cdots +\dfrac {1}{{3}^{n}}$是一个等比数列，其中首项$a_1=\dfrac{1}{3}$，公比$q=\dfrac{1}{3}$。
步骤 2：应用等比数列求和公式
等比数列的前$n$项和公式为$S_n=\dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，其中$a_1$是首项，$q$是公比，$n$是项数。
步骤 3：计算极限
当$n\rightarrow \infty$时，$q^n\rightarrow 0$（因为$|q|<1$），所以$\lim _{n\rightarrow \infty }S_n=\dfrac{a_1}{1-q}$。