题目
← a-|||-h-|||-b截面为矩形的螺绕环共N匝，尺寸如图所示，图下半部矩形表示螺绕环的截面，在螺绕环的轴线上另有一无限长直导线。求：（1）螺绕环的自感系数；（2）长直导线和螺绕环的互感系数；（3）若在螺绕环内通以稳恒电流I，求螺绕环内储存的磁能。
截面为矩形的螺绕环共N匝，尺寸如图所示，图下半部矩形表示螺绕环的截面，在螺绕环的轴线上另有一无限长直导线。求：（1）螺绕环的自感系数；
（2）长直导线和螺绕环的互感系数；
（3）若在螺绕环内通以稳恒电流I，求螺绕环内储存的磁能。
题目解答
答案
（1）$\frac{{{μ_0}{N^2}h}}{{2π}}ln\frac{b}{a}$；（2）$M=\frac{{{μ_0}Nh}}{{2π}}ln\frac{b}{a}$；（3）${W_m}=\frac{{{μ_0}{N^2}{I^2}h}}{{4π}}ln\frac{b}{a}$
【详解】（1）给螺绕环通以电流I，由安培环路定理可求$B=\frac{{{μ_0}NI}}{{2π\;r}}$又${φ_{m1}}=∫BdS=∫_a^b{\frac{{{μ_0}NI}}{{2πr}}}hdr=\frac{{{μ_0}NI}}{{2π}}hln\frac{b}{a}$
因此自感系数为$L=\frac{{N{φ_{m1}}}}{I}=\frac{{{μ_0}{N^2}h}}{{2π}}ln\frac{b}{a}$
（2）给长直导线通以电流I${Φ_m}=N{φ_{m1}}=NBdS=N_a^b\frac{{{μ_0}I}}{{2πr}}hdr=\frac{{{μ_0}NI}}{{2π}}hln\frac{b}{a}$
互感系数为$M=\frac{{{Φ_m}}}{I}=\frac{{{μ_0}Nh}}{{2π}}ln\frac{b}{a}$
（3）由螺旋管中的能量公式${W_m}=\frac{1}{2}L{I^2}=\frac{{{μ_0}{N^2}{I^2}h}}{{4π}}ln\frac{b}{a}$
【详解】（1）给螺绕环通以电流I，由安培环路定理可求$B=\frac{{{μ_0}NI}}{{2π\;r}}$又${φ_{m1}}=∫BdS=∫_a^b{\frac{{{μ_0}NI}}{{2πr}}}hdr=\frac{{{μ_0}NI}}{{2π}}hln\frac{b}{a}$
因此自感系数为$L=\frac{{N{φ_{m1}}}}{I}=\frac{{{μ_0}{N^2}h}}{{2π}}ln\frac{b}{a}$
（2）给长直导线通以电流I${Φ_m}=N{φ_{m1}}=NBdS=N_a^b\frac{{{μ_0}I}}{{2πr}}hdr=\frac{{{μ_0}NI}}{{2π}}hln\frac{b}{a}$
互感系数为$M=\frac{{{Φ_m}}}{I}=\frac{{{μ_0}Nh}}{{2π}}ln\frac{b}{a}$
（3）由螺旋管中的能量公式${W_m}=\frac{1}{2}L{I^2}=\frac{{{μ_0}{N^2}{I^2}h}}{{4π}}ln\frac{b}{a}$
解析
步骤 1：计算螺绕环的自感系数
给螺绕环通以电流I，由安培环路定理可求得螺绕环内部的磁场强度$B=\frac{{{μ_0}NI}}{{2πr}}$。螺绕环的磁通量${φ_{m1}}=∫BdS=∫_a^b{\frac{{{μ_0}NI}}{{2πr}}}hdr=\frac{{{μ_0}NI}}{{2π}}hln\frac{b}{a}$。因此，自感系数为$L=\frac{{N{φ_{m1}}}}{I}=\frac{{{μ_0}{N^2}h}}{{2π}}ln\frac{b}{a}$。
步骤 2：计算长直导线和螺绕环的互感系数
给长直导线通以电流I，螺绕环的磁通量${Φ_m}=N{φ_{m1}}=NBdS=N_a^b\frac{{{μ_0}I}}{{2πr}}hdr=\frac{{{μ_0}NI}}{{2π}}hln\frac{b}{a}$。互感系数为$M=\frac{{{Φ_m}}}{I}=\frac{{{μ_0}Nh}}{{2π}}ln\frac{b}{a}$。
步骤 3：计算螺绕环内储存的磁能
由螺旋管中的能量公式${W_m}=\frac{1}{2}L{I^2}=\frac{{{μ_0}{N^2}{I^2}h}}{{4π}}ln\frac{b}{a}$。
给螺绕环通以电流I，由安培环路定理可求得螺绕环内部的磁场强度$B=\frac{{{μ_0}NI}}{{2πr}}$。螺绕环的磁通量${φ_{m1}}=∫BdS=∫_a^b{\frac{{{μ_0}NI}}{{2πr}}}hdr=\frac{{{μ_0}NI}}{{2π}}hln\frac{b}{a}$。因此，自感系数为$L=\frac{{N{φ_{m1}}}}{I}=\frac{{{μ_0}{N^2}h}}{{2π}}ln\frac{b}{a}$。
步骤 2：计算长直导线和螺绕环的互感系数
给长直导线通以电流I，螺绕环的磁通量${Φ_m}=N{φ_{m1}}=NBdS=N_a^b\frac{{{μ_0}I}}{{2πr}}hdr=\frac{{{μ_0}NI}}{{2π}}hln\frac{b}{a}$。互感系数为$M=\frac{{{Φ_m}}}{I}=\frac{{{μ_0}Nh}}{{2π}}ln\frac{b}{a}$。
步骤 3：计算螺绕环内储存的磁能
由螺旋管中的能量公式${W_m}=\frac{1}{2}L{I^2}=\frac{{{μ_0}{N^2}{I^2}h}}{{4π}}ln\frac{b}{a}$。