题目

int dfrac (sin x-cos x)(sin x+cos x)dx=

$\int_{ }^{ }\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}dx$ =

题目解答

答案

解：

$\int_{ }^{ }\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}dx=-\int_{ }^{ }\frac{1}{\sin x+\cos x}d\left(\sin x+\cos x\right)$

令 $\sin x+\cos x=t$

$\int_{ }^{ }\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}dx=-\int_{ }^{ }\frac{1}{\sin x+\cos x}d\left(\sin x+\cos x\right)=\int_{ }^{ }\frac{1}{t}dt=-\ln\left|t\right|+C$

再把代回得 $\sin x+\cos x=t$

$\int_{ }^{ }\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}dx=-\ln\left|\sin x+\cos x\right|+C$

解析

步骤 1：代换
令 $t = \sin x + \cos x$，则 $dt = (\cos x - \sin x)dx$。
步骤 2：积分
原积分可以写为 $\int \dfrac {\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}dx = -\int \dfrac {1}{\sin x+\cos x}d(\sin x+\cos x)$。
步骤 3：代入
将 $t = \sin x + \cos x$ 代入，得到 $-\int \dfrac {1}{t}dt$。
步骤 4：计算
计算积分 $-\int \dfrac {1}{t}dt = -\ln |t| + C$。
步骤 5：回代
将 $t = \sin x + \cos x$ 回代，得到 $-\ln |\sin x + \cos x| + C$。