题目
例8 判断下列向量组的线性相关性.-|||-(1) _(1)=(1,1,0,0), (alpha )_(2)=((1,0,1,1))^T _(3)=((-1,2,4,0))^T, _(4)=(0,-1,1,-|||-https:/img.cdnjtzy.com/zyb_f060e560666dff51277fc972cde33f24.jpg);
题目解答
答案
解析
步骤 1：构造矩阵
构造矩阵 $A$，其列向量为给定的向量 ${a}_{1}$, ${a}_{2}$, ${a}_{3}$, ${a}_{4}$。
步骤 2：进行初等行变换
对矩阵 $A$ 进行初等行变换，化简为阶梯形矩阵。
步骤 3：判断矩阵的秩
根据阶梯形矩阵的非零行数，判断矩阵 $A$ 的秩 $r(A)$。
步骤 4：判断向量组的线性相关性
根据矩阵 $A$ 的秩 $r(A)$ 与向量组的个数 $n$ 的关系，判断向量组的线性相关性。
【答案】
向量组 ${a}_{1}$, ${a}_{2}$, ${a}_{3}$, ${a}_{4}$ 线性相关。
【解析】
步骤 1：构造矩阵
构造矩阵 $A$，其列向量为给定的向量 ${a}_{1}$, ${a}_{2}$, ${a}_{3}$, ${a}_{4}$。
$A=({a}_{1},{a}_{2},{a}_{3},{a}_{4})=$ $\left (\begin{matrix} 1& 1& -1& 0\\ 1& 0& 2& -1\\ 0& 1& 4& 1\\ 0& 1& 0& 1\end{matrix} ) \right.$
步骤 2：进行初等行变换
对矩阵 $A$ 进行初等行变换，化简为阶梯形矩阵。
$A=$ $\left (\begin{matrix} 1& 1& -1& 0\\ 1& 0& 2& -1\\ 0& 1& 4& 1\\ 0& 1& 0& 1\end{matrix} ) \right.$
$-{r}_{1}+{r}_{2}$ $\left (\begin{matrix} 1& 1& -1& 0\\ 0& -1& 3& -1\\ 0& 1& 4& 1\\ 0& 1& 0& 1\end{matrix} ) \right.$
${r}_{2}+{r}_{3}$ $\left (\begin{matrix} 1& 1& -1& 0\\ 0& -1& 3& -1\\ 0& 0& 7& 0\\ 0& 1& 0& 1\end{matrix} ) \right.$
${r}_{2}+{r}_{4}$ $\left (\begin{matrix} 1& 1& -1& 0\\ 0& -1& 3& -1\\ 0& 0& 7& 0\\ 0& 0& 3& 0\end{matrix} ) \right.$
$-\frac{3}{7}{r}_{3}+{r}_{4}$ $\left (\begin{matrix} 1& 1& -1& 0\\ 0& -1& 3& -1\\ 0& 0& 7& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{matrix} ) \right.$
步骤 3：判断矩阵的秩
根据阶梯形矩阵的非零行数，判断矩阵 $A$ 的秩 $r(A)$。
$r(A)=3$
步骤 4：判断向量组的线性相关性
根据矩阵 $A$ 的秩 $r(A)$ 与向量组的个数 $n$ 的关系，判断向量组的线性相关性。
$r(A)=3\lt 4$，所以向量组 ${a}_{1}$, ${a}_{2}$, ${a}_{3}$, ${a}_{4}$ 线性相关。
构造矩阵 $A$，其列向量为给定的向量 ${a}_{1}$, ${a}_{2}$, ${a}_{3}$, ${a}_{4}$。
步骤 2：进行初等行变换
对矩阵 $A$ 进行初等行变换，化简为阶梯形矩阵。
步骤 3：判断矩阵的秩
根据阶梯形矩阵的非零行数，判断矩阵 $A$ 的秩 $r(A)$。
步骤 4：判断向量组的线性相关性
根据矩阵 $A$ 的秩 $r(A)$ 与向量组的个数 $n$ 的关系，判断向量组的线性相关性。
【答案】
向量组 ${a}_{1}$, ${a}_{2}$, ${a}_{3}$, ${a}_{4}$ 线性相关。
【解析】
步骤 1：构造矩阵
构造矩阵 $A$，其列向量为给定的向量 ${a}_{1}$, ${a}_{2}$, ${a}_{3}$, ${a}_{4}$。
$A=({a}_{1},{a}_{2},{a}_{3},{a}_{4})=$ $\left (\begin{matrix} 1& 1& -1& 0\\ 1& 0& 2& -1\\ 0& 1& 4& 1\\ 0& 1& 0& 1\end{matrix} ) \right.$
步骤 2：进行初等行变换
对矩阵 $A$ 进行初等行变换，化简为阶梯形矩阵。
$A=$ $\left (\begin{matrix} 1& 1& -1& 0\\ 1& 0& 2& -1\\ 0& 1& 4& 1\\ 0& 1& 0& 1\end{matrix} ) \right.$
$-{r}_{1}+{r}_{2}$ $\left (\begin{matrix} 1& 1& -1& 0\\ 0& -1& 3& -1\\ 0& 1& 4& 1\\ 0& 1& 0& 1\end{matrix} ) \right.$
${r}_{2}+{r}_{3}$ $\left (\begin{matrix} 1& 1& -1& 0\\ 0& -1& 3& -1\\ 0& 0& 7& 0\\ 0& 1& 0& 1\end{matrix} ) \right.$
${r}_{2}+{r}_{4}$ $\left (\begin{matrix} 1& 1& -1& 0\\ 0& -1& 3& -1\\ 0& 0& 7& 0\\ 0& 0& 3& 0\end{matrix} ) \right.$
$-\frac{3}{7}{r}_{3}+{r}_{4}$ $\left (\begin{matrix} 1& 1& -1& 0\\ 0& -1& 3& -1\\ 0& 0& 7& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{matrix} ) \right.$
步骤 3：判断矩阵的秩
根据阶梯形矩阵的非零行数，判断矩阵 $A$ 的秩 $r(A)$。
$r(A)=3$
步骤 4：判断向量组的线性相关性
根据矩阵 $A$ 的秩 $r(A)$ 与向量组的个数 $n$ 的关系，判断向量组的线性相关性。
$r(A)=3\lt 4$，所以向量组 ${a}_{1}$, ${a}_{2}$, ${a}_{3}$, ${a}_{4}$ 线性相关。