7.填空题 【填空题】已知幂级数sum_(n=1)^inftya_(n)(x+1)^n在x=0处收敛，在x=-2处发散，则幂级数sum_(n=1)^infty(a_(n))/(2^n)(x-3)^n的收敛域为____.

已知幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n (x+1)^n$ 的收敛半径 $R=1$，收敛域为 $(-2,0]$。 对于幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{2^n} (x-3)^n$，设 $b_n = \frac{a_n}{2^n}$，则 $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{b_{n+1}}{b_n} \right| = \frac{1}{2} \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2},$ 收敛半径 $R' = 2$，收敛区间为 $|x-3| < 2$，即 $1 < x < 5$。 在端点处： - $x=1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n (-1)^n$，与原级数在 $x=-2$ 处发散； - $x=5$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$，与原级数在 $x=0$ 处收敛。 答案： $\boxed{(1, 5]}$