题目
4、设f(z)=(1)/(z^2)+1，则f(z)的孤立奇点有____。
4、设$f(z)=\frac{1}{z^{2}+1}$，则f(z)的孤立奇点有____。
题目解答
答案
解方程 $z^2 + 1 = 0$，得
\[
z^2 = -1 \implies z = \pm \sqrt{-1} = \pm i
\]
或因式分解分母：
\[
z^2 + 1 = (z - i)(z + i) = 0 \implies z = \pm i
\]
因此，函数 $f(z) = \frac{1}{z^2 + 1}$ 的孤立奇点为 $\boxed{\pm i}$。
解析
本题考查复变函数中孤立奇点的概念及求解方法。解题思路是根据孤立奇点的定义，对于分式形式的复变函数$f(z)=\frac{g(z)}{h(z)}$，其孤立奇点是使分母$h(z)=0$的点。所以我们只需要求解方程$z^{2}+1 = 0$，得到的解即为函数$f(z)=\frac{1}{z^{2}+1}$的孤立奇点。
下面进行详细计算：
- 方法一：直接求解方程
已知$z^{2}+1 = 0$，移项可得$z^{2}=-1$。
根据复数的定义，$i^{2}=-1$，所以$z=\pm\sqrt{-1}=\pm i$。 - 方法二：因式分解求解方程
对$z^{2}+1$进行因式分解，根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$，这里$a = z$，$b = i$，则$z^{2}+1=z^{2}-(i)^{2}=(z - i)(z + i)$。
令$(z - i)(z + i)=0$，根据乘法的性质，若两个数的乘积为$0$，则至少其中一个数为$0$，可得$z - i = 0$或$z + i = 0$，即$z = i$或$z = -i$。