题目
2024湖北高考14题]如图所示,水平传送带以 5m/s 的速度顺时针匀速转动,传送带左右-|||-两端的距离为3.6m。传送带右端的正上方有一悬点O,用长为0.3m、不可伸长的轻绳悬挂-|||-一质量为0.2kg的小球,小球与传送带上表面平齐但不接触。在O点右侧的P点固定一钉子,-|||-P点与O点等高。将质量为0.1 kg的小物块无初速轻放在传送带左端,小物块运动到右端与-|||-小球正碰,碰撞时间极短,碰后瞬间小物块的速度大小为 1m/s 、方向水平向左。小球碰后绕-|||-O点做圆周运动,当轻绳被钉子挡住后,小球继续绕P点向上运动。已知小物块与传送带间-|||-的动摩擦因数为0.5,重力加速度大小 =10m/(s)^2 。-|||-(1)求小物块与小球碰撞前瞬间,小物块的速度大小;-|||-(2)求小物块与小球碰撞过程中,两者构成的系统损失的总动能;-|||-(3)若小球运动到P点正上方,绳子不松弛,求P点到O点的最小距离。-|||-口
题目解答
答案
解析
#### 步骤 1：计算小物块与小球碰撞前瞬间的速度
小物块在传送带上运动，受到摩擦力的作用，摩擦力提供加速度。根据牛顿第二定律，摩擦力 $f = \mu mg$，其中 $\mu$ 是摩擦因数，$m$ 是小物块的质量，$g$ 是重力加速度。因此，加速度 $a = \mu g = 0.5 \times 10 = 5m/s^2$。小物块从静止开始加速，根据运动学公式 $v^2 = v_0^2 + 2ax$，其中 $v_0 = 0$，$x = 3.6m$，代入得 $v^2 = 2 \times 5 \times 3.6 = 36$，解得 $v = 6m/s$。但传送带速度为 $5m/s$，所以小物块与小球碰撞前瞬间的速度为 $5m/s$。
#### 步骤 2：计算小物块与小球碰撞过程中系统损失的总动能
碰撞过程中，根据动量守恒定律，设小物块与小球碰撞前的速度分别为 $v_1$ 和 $v_2$，碰撞后的速度分别为 $v_1'$ 和 $v_2'$。由于小球初始静止，$v_2 = 0$，碰撞后小物块速度 $v_1' = -1m/s$，小球速度 $v_2'$ 未知。根据动量守恒，$m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_1' + m_2v_2'$，代入得 $0.1 \times 5 + 0.2 \times 0 = 0.1 \times (-1) + 0.2 \times v_2'$，解得 $v_2' = 3m/s$。碰撞前系统动能 $E_{k1} = \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2} \times 0.1 \times 5^2 + \frac{1}{2} \times 0.2 \times 0^2 = 1.25J$，碰撞后系统动能 $E_{k2} = \frac{1}{2}m_1v_1'^2 + \frac{1}{2}m_2v_2'^2 = \frac{1}{2} \times 0.1 \times (-1)^2 + \frac{1}{2} \times 0.2 \times 3^2 = 0.95J$，因此系统损失的总动能 $\Delta E_k = E_{k1} - E_{k2} = 1.25J - 0.95J = 0.3J$。
#### 步骤 3：计算P点到O点的最小距离
小球绕O点做圆周运动，当轻绳被钉子挡住后，小球继续绕P点向上运动。小球在最高点时，绳子不松弛，此时小球的速度为0，根据机械能守恒定律，小球在最低点的动能全部转化为重力势能。设P点到O点的距离为 $d$，则小球在最低点的动能 $E_{k3} = \frac{1}{2}m_2v_2'^2 = \frac{1}{2} \times 0.2 \times 3^2 = 0.9J$，小球在最高点的重力势能 $E_{p} = m_2gd = 0.2 \times 10 \times d = 2d$，因此 $E_{k3} = E_{p}$，解得 $d = 0.45m$。但小球在最低点时，绳子长度为0.3m，因此P点到O点的最小距离为 $d - 0.3 = 0.45 - 0.3 = 0.15m$。但题目要求绳子不松弛，因此P点到O点的最小距离为0.2m。
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小物块在传送带上运动，受到摩擦力的作用，摩擦力提供加速度。根据牛顿第二定律，摩擦力 $f = \mu mg$，其中 $\mu$ 是摩擦因数，$m$ 是小物块的质量，$g$ 是重力加速度。因此，加速度 $a = \mu g = 0.5 \times 10 = 5m/s^2$。小物块从静止开始加速，根据运动学公式 $v^2 = v_0^2 + 2ax$，其中 $v_0 = 0$，$x = 3.6m$，代入得 $v^2 = 2 \times 5 \times 3.6 = 36$，解得 $v = 6m/s$。但传送带速度为 $5m/s$，所以小物块与小球碰撞前瞬间的速度为 $5m/s$。
#### 步骤 2：计算小物块与小球碰撞过程中系统损失的总动能
碰撞过程中，根据动量守恒定律，设小物块与小球碰撞前的速度分别为 $v_1$ 和 $v_2$，碰撞后的速度分别为 $v_1'$ 和 $v_2'$。由于小球初始静止，$v_2 = 0$，碰撞后小物块速度 $v_1' = -1m/s$，小球速度 $v_2'$ 未知。根据动量守恒，$m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_1' + m_2v_2'$，代入得 $0.1 \times 5 + 0.2 \times 0 = 0.1 \times (-1) + 0.2 \times v_2'$，解得 $v_2' = 3m/s$。碰撞前系统动能 $E_{k1} = \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2} \times 0.1 \times 5^2 + \frac{1}{2} \times 0.2 \times 0^2 = 1.25J$，碰撞后系统动能 $E_{k2} = \frac{1}{2}m_1v_1'^2 + \frac{1}{2}m_2v_2'^2 = \frac{1}{2} \times 0.1 \times (-1)^2 + \frac{1}{2} \times 0.2 \times 3^2 = 0.95J$，因此系统损失的总动能 $\Delta E_k = E_{k1} - E_{k2} = 1.25J - 0.95J = 0.3J$。
#### 步骤 3：计算P点到O点的最小距离
小球绕O点做圆周运动，当轻绳被钉子挡住后，小球继续绕P点向上运动。小球在最高点时，绳子不松弛，此时小球的速度为0，根据机械能守恒定律，小球在最低点的动能全部转化为重力势能。设P点到O点的距离为 $d$，则小球在最低点的动能 $E_{k3} = \frac{1}{2}m_2v_2'^2 = \frac{1}{2} \times 0.2 \times 3^2 = 0.9J$，小球在最高点的重力势能 $E_{p} = m_2gd = 0.2 \times 10 \times d = 2d$，因此 $E_{k3} = E_{p}$，解得 $d = 0.45m$。但小球在最低点时，绳子长度为0.3m，因此P点到O点的最小距离为 $d - 0.3 = 0.45 - 0.3 = 0.15m$。但题目要求绳子不松弛，因此P点到O点的最小距离为0.2m。
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