求下列极限lim _(xarrow 0)(dfrac (1)(x)-dfrac (1)({e)^x-1});

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是处理$\frac{0}{0}$型未定式的能力，需要灵活运用通分、泰勒展开或洛必达法则。

解题核心思路：

1. 通分：将两个分式合并为一个分式，简化表达式。
2. 识别未定式：分子和分母在$x \to 0$时均趋近于0，属于$\frac{0}{0}$型，可应用洛必达法则或泰勒展开。
3. 化简求极限：通过多次求导或展开高阶项，消去未定式，最终求得极限值。

破题关键点：

• 正确通分是简化表达式的前提。
• 选择合适的方法（洛必达法则或泰勒展开）处理未定式。
• 注意运算细节，避免符号或指数错误。

步骤1：通分合并分式
原式为：
$\lim _{x\rightarrow 0}\left(\dfrac {1}{x}-\dfrac {1}{{e}^{x}-1}\right)$
通分后得：
$\lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{(e^x -1) - x}{x(e^x -1)} = \lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{e^x -1 -x}{x(e^x -1)}$

步骤2：应用洛必达法则
分子$e^x -1 -x$和分母$x(e^x -1)$在$x \to 0$时均为0，属于$\frac{0}{0}$型未定式。

• 第一次求导：
  分子导数：$\dfrac{d}{dx}(e^x -1 -x) = e^x -1$
  分母导数：$\dfrac{d}{dx}[x(e^x -1)] = (e^x -1) + x e^x$
  得到：
  $\lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{e^x -1}{(e^x -1) + x e^x}$

• 第二次求导：
  分子导数：$\dfrac{d}{dx}(e^x -1) = e^x$
  分母导数：$\dfrac{d}{dx}[(e^x -1) + x e^x] = e^x + e^x + x e^x = 2e^x + x e^x$
  得到：
  $\lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{e^x}{2e^x + x e^x} = \lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{1}{2 + x} = \dfrac{1}{2}$