已知f(x)在 x=0 的某个邻域内连续,且 lim _(xarrow 0)dfrac (f(x))(1-cos x)=2, 则在点 x=0 处f(x )f(x)在 x=0 的某个邻域内连续,且 lim _(xarrow 0)dfrac (f(x))(1-cos x)=2, 则在点 x=0 处f(x )

考查要点：本题主要考查极限的局部保号性、极值的定义以及函数在某点的连续性与可导性的关系。

解题核心思路：

1. 通过已知极限 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{1-\cos x}=2$，结合局部保号性推断 $f(x)$ 在 $x=0$ 附近的符号；
2. 利用 $1-\cos x \approx \dfrac{x^2}{2}$（泰勒展开）分析 $f(x)$ 的阶，判断 $f(0)$ 是否为极值；
3. 结合极值定义和选项排除法确定正确答案。

破题关键点：

• 局部保号性：由极限值为正，可知 $f(x)$ 在 $x=0$ 去心邻域内与 $1-\cos x$ 同号，进而确定 $f(x) > 0$；
• 极值判定：$f(0)=0$ 且邻域内 $f(x) > f(0)$，故 $x=0$ 是极小值点。

步骤1：分析极限条件

已知 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{1-\cos x}=2 > 0$，由局部保号性，存在 $x=0$ 的去心邻域，在此邻域内 $\dfrac{f(x)}{1-\cos x} > 0$。
又因 $1-\cos x > 0$（当 $x \neq 0$ 时），故 $f(x) > 0$。

步骤2：确定 $f(0)$ 的值

$f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $\lim _{x\rightarrow 0} f(x) = \lim _{x\rightarrow 0} 2(1-\cos x) = 0$，故 $f(0) = 0$。

步骤3：判断极值

在 $x=0$ 的去心邻域内，$f(x) > 0 = f(0)$，根据极值定义，$x=0$ 是 $f(x)$ 的极小值点。

步骤4：排除其他选项

• 选项A、B：若取 $f(x)=x^2$，满足题设条件，此时 $f'(0)=0$，故排除A、B；
• 选项C：极大值与分析矛盾，排除；
• 选项D：符合极小值结论。