题目
已知f(x)在 x=0 的某个邻域内连续,且 lim _(xarrow 0)dfrac (f(x))(1-cos x)=2, 则在点 x=0 处f(x )f(x)在 x=0 的某个邻域内连续,且 lim _(xarrow 0)dfrac (f(x))(1-cos x)=2, 则在点 x=0 处f(x )
已知
题目解答
答案
解析：
解析
步骤 1：极限的局部保号性
由于 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{1-\cos x}=2\gt 0$，根据极限的局部保号性，存在 $x=0$ 的某个去心邻域，在此去心邻域内 $\dfrac {f(x)}{1-\cos x}\gt 0$。
步骤 2：确定 $f(x)$ 的符号
由于 $1-\cos x\gt 0$，则 $f(x)\gt 0$。而 $f(0)=0$，则 $f(x)\gt f(0)$。
步骤 3：极值定义
由极值定义可知，$f(x)$ 在点 $x=0$ 处取得极小值。
由于 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{1-\cos x}=2\gt 0$，根据极限的局部保号性，存在 $x=0$ 的某个去心邻域，在此去心邻域内 $\dfrac {f(x)}{1-\cos x}\gt 0$。
步骤 2：确定 $f(x)$ 的符号
由于 $1-\cos x\gt 0$，则 $f(x)\gt 0$。而 $f(0)=0$，则 $f(x)\gt f(0)$。
步骤 3：极值定义
由极值定义可知，$f(x)$ 在点 $x=0$ 处取得极小值。