3.随机变量X在(0,1)上服从均匀分布,(1)求 =(e)^x 的概率密度;(2)求 =-2ln x 的-|||-概率密度.

步骤 1：求 $Y={e}^{x}$ 的概率密度
由 $y={e}^{x}$ ,解得 $x=\ln y$, 且 $\dfrac {dx}{dy}=\dfrac {1}{y}$, 又 $a=min({e}^{-\infty },{e}^{+\infty })=0$ $\beta =max({e}^{-\infty },{e}^{+\infty })=+\infty $ 故Y的密度函数为 $f(y)=$ $\left \{ \begin{matrix} fx(\ln y)\times \dfrac {1}{y},0\lt y\lt +\infty \\ 0,\end{matrix} \right.$ 注意到 $X\sim U(0,1)$ ,即X的密度函的为 $f(x)=$ $\left \{ \begin{matrix} 1,\quad 0\lt x\lt 1\\ 0,\end{matrix} \right.$ 由 $0\lt \ln y\lt 1$ ,得到 $1\lt y\lt e$, 于是有 $f(y)=$ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{y},0\lt \ln y\lt 1\\ 0,\end{matrix} \right.$ = $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{y},1\lt y\lt e\\ 0,\end{matrix} \right.$
步骤 2：求 $Y=-2\ln X$ 的概率密度
由 $y=-2\ln x$ ,解得 $x={e}^{-\dfrac {1}{2}}$ 且dx/dy=-1/2e^-2/2. Y的取值范围为 $(-\infty ,+\infty )$ ,则Y的概 $\dfrac {dx}{dy}=-\dfrac {1}{2}{e}^{-\dfrac {x}{2}}.$ 与(1)相同的理由,由 $0\lt {e}^{-\dfrac {2}{7}}\lt 1$ ,得到 $y\gt 0$, 于是有 ${f}_{Y}(y)=$ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{2}{e}^{-\dfrac {x}{2}},0\lt {e}^{-\dfrac {x}{2}}\lt 1\\ 0,\end{matrix} \right.$ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{2}{e}^{-\dfrac {y}{2}},y\gt 0\\ 0,\end{matrix} \right.$