题目
36 设f(x)=ln(1-2x)/(1+3x)，则f(x)在x₀=0点处的n次泰勒多项式为____.
36 设$f(x)=\ln\frac{1-2x}{1+3x}$，则f(x)在x₀=0点处的n次泰勒多项式为____.
题目解答
答案
将 $ f(x) = \ln \frac{1-2x}{1+3x} $ 分解为 $ \ln(1-2x) - \ln(1+3x) $，利用对数函数的泰勒展开式：
\[
\ln(1+y) = y - \frac{y^2}{2} + \frac{y^3}{3} - \cdots + (-1)^{n-1} \frac{y^n}{n} + o(y^n)
\]
分别展开并相减：
\[
\ln(1-2x) = -2x - \frac{(2x)^2}{2} - \frac{(2x)^3}{3} - \cdots - \frac{(2x)^n}{n} + o(x^n)
\]
\[
\ln(1+3x) = 3x - \frac{(3x)^2}{2} + \frac{(3x)^3}{3} - \cdots + (-1)^{n-1} \frac{(3x)^n}{n} + o(x^n)
\]
合并同类项得：
\[
f(x) = -\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \left[ 2^k + (-1)^{k-1} 3^k \right] x^k + o(x^n)
\]
**答案：**
\[
\boxed{-\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \left[ 2^k + (-1)^{k-1} 3^k \right] x^k}
\]
解析
考查要点：本题主要考查泰勒多项式的展开方法，特别是对数函数的展开及其组合形式的处理。
解题核心思路：
- 分解函数：利用对数性质将原函数拆分为两个对数函数之差，简化展开过程。
- 分别展开：对每个对数函数应用已知的泰勒展开式，注意符号和系数的处理。
- 合并同类项：将两个展开式相减，整理得到最终的泰勒多项式形式。
破题关键点：
- 分解对数函数是简化问题的关键步骤。
- 正确应用对数函数的泰勒展开式，注意展开式中符号的交替规律。
- 合并展开式时需逐项对应，确保系数计算准确。
将函数 $f(x) = \ln \frac{1-2x}{1+3x}$ 分解为 $\ln(1-2x) - \ln(1+3x)$，分别展开后相减。
展开 $\ln(1-2x)$
利用泰勒展开式 $\ln(1+y) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{y^k}{k}$，令 $y = -2x$，得：
$\ln(1-2x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-2x)^k}{k} \cdot (-1)^{k-1} = -\sum_{k=1}^\infty \frac{(2x)^k}{k}.$
展开 $\ln(1+3x)$
同理，令 $y = 3x$，得：
$\ln(1+3x) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{(3x)^k}{k}.$
合并两式
相减得：
$f(x) = \ln(1-2x) - \ln(1+3x) = -\sum_{k=1}^\infty \frac{(2x)^k}{k} - \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{(3x)^k}{k}.$
整理通项
提取公共因子 $x^k$，合并系数：
$f(x) = -\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} \left[ 2^k + (-1)^{k-1} 3^k \right] x^k.$
截取到 $n$ 次项，即为所求泰勒多项式。