题目
函数f(z)=3x²+4y³i在复平面上()A处处不可导;B仅在x = 2y²上可导;C仅在x = 2y²上解析;D处处不解析;E处处解析;F处处可导.
函数f(z)=3x²+4y³i在复平面上()
A处处不可导;
B仅在x = 2y²上可导;
C仅在x = 2y²上解析;
D处处不解析;E处处解析;
F处处可导.
题目解答
答案
1. 先求函数f(z)=3x²+4y³i的导数。
- 设z = x + yi，则f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)=3x²，v(x,y)=4y³。
- 根据柯西-黎曼方程
且
来判断可导性和解析性。
2. 计算偏导数：
-
。
3. 分析柯西-黎曼方程：
- 由可得6x = 12y²，即x = 2y²。
- 当x = 2y²时，柯西-黎曼方程成立，此时函数可导。
- 但仅在一条曲线上满足柯西-黎曼方程，不满足在一个区域内处处满足柯西-黎曼方程，所以函数处处不解析。
故答案是：BD
解析
步骤 1：求函数f(z)=3x²+4y³i的导数。
- 设z = x + yi，则f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)=3x²，v(x,y)=4y³。
- 根据柯西-黎曼方程$\dfrac {\partial u}{\partial x}=\dfrac {\partial v}{\partial y}$且$\dfrac {\partial u}{\partial y}=-\dfrac {\partial v}{\partial x}$来判断可导性和解析性。
步骤 2：计算偏导数。
- $\dfrac {\partial u}{\partial x}=6x$，$\dfrac {\partial u}{\partial y}=0$，$\dfrac {\partial v}{\partial x}=0$，$\dfrac {\partial v}{\partial y}=12y^2$。
步骤 3：分析柯西-黎曼方程。
- 由$\dfrac {\partial u}{\partial x}=\dfrac {\partial v}{\partial y}$可得6x = 12y²，即x = 2y²。
- 当x = 2y²时，柯西-黎曼方程成立，此时函数可导。
- 但仅在一条曲线上满足柯西-黎曼方程，不满足在一个区域内处处满足柯西-黎曼方程，所以函数处处不解析。
- 设z = x + yi，则f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)=3x²，v(x,y)=4y³。
- 根据柯西-黎曼方程$\dfrac {\partial u}{\partial x}=\dfrac {\partial v}{\partial y}$且$\dfrac {\partial u}{\partial y}=-\dfrac {\partial v}{\partial x}$来判断可导性和解析性。
步骤 2：计算偏导数。
- $\dfrac {\partial u}{\partial x}=6x$，$\dfrac {\partial u}{\partial y}=0$，$\dfrac {\partial v}{\partial x}=0$，$\dfrac {\partial v}{\partial y}=12y^2$。
步骤 3：分析柯西-黎曼方程。
- 由$\dfrac {\partial u}{\partial x}=\dfrac {\partial v}{\partial y}$可得6x = 12y²，即x = 2y²。
- 当x = 2y²时，柯西-黎曼方程成立，此时函数可导。
- 但仅在一条曲线上满足柯西-黎曼方程，不满足在一个区域内处处满足柯西-黎曼方程，所以函数处处不解析。