题目
四、 求变换的逆变换。(10分)
四、 求
变换的逆变换。(10分)
题目解答
答案
解:方法一:(部分分式展开法)
(3分)
,
(5分)
查表可得 (2分)
方法二:(留数法)
被积函数为
在收敛域确定积分围线,在围线内有极点 (3分)
时
, (5分)
时,
的收敛域为
,且。所以对应一因果序列。
综全以上可得
(2分)
解析
步骤 1：部分分式展开法
首先，我们对给定的函数$f(z)$进行部分分式展开。给定的函数是$f(z)=\dfrac {1-\dfrac {1}{2}{z}^{-1}}{1+\dfrac {3}{4}z^{-1}+\dfrac {1}{8}z^{-2}}$。我们首先将分母因式分解，然后将分子分解为部分分式。
步骤 2：因式分解分母
分母$1+\dfrac {3}{4}z^{-1}+\dfrac {1}{8}z^{-2}$可以因式分解为$(1+\dfrac {1}{2}z^{-1})(1+\dfrac {1}{4}z^{-1})$。
步骤 3：部分分式展开
将$f(z)$写成部分分式的形式，即$f(z)=\dfrac {A}{1+\dfrac {1}{2}z^{-1}}+\dfrac {B}{1+\dfrac {1}{4}z^{-1}}$。通过比较系数，可以求出$A$和$B$的值。
步骤 4：求解$A$和$B$
通过代入$z^{-1}=-2$和$z^{-1}=-4$，可以分别求出$A$和$B$的值。$A=4$，$B=-3$。
步骤 5：逆变换
根据部分分式展开的结果，我们可以写出$f(z)$的逆变换。$f(z)=\dfrac {4}{1+\dfrac {1}{2}z^{-1}}-\dfrac {3}{1+\dfrac {1}{4}z^{-1}}$。根据$z$变换的性质，我们可以得到$f(n)=4\cdot {(-\dfrac {1}{2})}^{n}n(n)-3{(-\dfrac {1}{4})}^{n}n(n)$。
步骤 6：确定收敛域
根据$f(z)$的极点，我们可以确定收敛域。$z$的极点为$z=-\dfrac {1}{2}$和$z=-\dfrac {1}{4}$。因此，收敛域为$|z|>\dfrac {1}{2}$。
步骤 7：因果序列
由于收敛域为$|z|>\dfrac {1}{2}$，所以$f(n)$对应一个因果序列，即$n\geqslant 0$。
首先，我们对给定的函数$f(z)$进行部分分式展开。给定的函数是$f(z)=\dfrac {1-\dfrac {1}{2}{z}^{-1}}{1+\dfrac {3}{4}z^{-1}+\dfrac {1}{8}z^{-2}}$。我们首先将分母因式分解，然后将分子分解为部分分式。
步骤 2：因式分解分母
分母$1+\dfrac {3}{4}z^{-1}+\dfrac {1}{8}z^{-2}$可以因式分解为$(1+\dfrac {1}{2}z^{-1})(1+\dfrac {1}{4}z^{-1})$。
步骤 3：部分分式展开
将$f(z)$写成部分分式的形式，即$f(z)=\dfrac {A}{1+\dfrac {1}{2}z^{-1}}+\dfrac {B}{1+\dfrac {1}{4}z^{-1}}$。通过比较系数，可以求出$A$和$B$的值。
步骤 4：求解$A$和$B$
通过代入$z^{-1}=-2$和$z^{-1}=-4$，可以分别求出$A$和$B$的值。$A=4$，$B=-3$。
步骤 5：逆变换
根据部分分式展开的结果，我们可以写出$f(z)$的逆变换。$f(z)=\dfrac {4}{1+\dfrac {1}{2}z^{-1}}-\dfrac {3}{1+\dfrac {1}{4}z^{-1}}$。根据$z$变换的性质，我们可以得到$f(n)=4\cdot {(-\dfrac {1}{2})}^{n}n(n)-3{(-\dfrac {1}{4})}^{n}n(n)$。
步骤 6：确定收敛域
根据$f(z)$的极点，我们可以确定收敛域。$z$的极点为$z=-\dfrac {1}{2}$和$z=-\dfrac {1}{4}$。因此，收敛域为$|z|>\dfrac {1}{2}$。
步骤 7：因果序列
由于收敛域为$|z|>\dfrac {1}{2}$，所以$f(n)$对应一个因果序列，即$n\geqslant 0$。