题目
6.求原点O(0,0,0)到曲面 sum :((x-y))^2-(z)^2=1 的最短距离.
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解曲面方程
给定的曲面方程为 $\sum _{i=1}^{2}{(x-y)}^{2}-{z}^{2}=1$，可以简化为 $(x-y)^2 + (x-y)^2 - z^2 = 1$，即 $2(x-y)^2 - z^2 = 1$。这是一个双曲抛物面方程。
步骤 2：设定距离函数
原点O(0,0,0)到曲面上任意点$(x,y,z)$的距离为 $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。为了简化计算，我们最小化距离的平方，即 $d^2 = x^2 + y^2 + z^2$。
步骤 3：使用拉格朗日乘数法
为了找到距离的最小值，我们使用拉格朗日乘数法。设拉格朗日函数为 $L(x,y,z,\lambda) = x^2 + y^2 + z^2 + \lambda(2(x-y)^2 - z^2 - 1)$。对$x,y,z,\lambda$求偏导并令其等于0，得到方程组：
$$
\begin{cases}
2x + \lambda \cdot 4(x-y) = 0 \\
2y - \lambda \cdot 4(x-y) = 0 \\
2z - \lambda \cdot 2z = 0 \\
2(x-y)^2 - z^2 = 1
\end{cases}
$$
步骤 4：求解方程组
从第三个方程得到 $\lambda = 1$ 或 $z = 0$。若 $\lambda = 1$，则前两个方程变为 $x + 2(x-y) = 0$ 和 $y - 2(x-y) = 0$，解得 $x = y$。代入第四个方程得到 $2(x-y)^2 - z^2 = 1$，即 $-z^2 = 1$，无解。因此，$z = 0$。此时，$2(x-y)^2 = 1$，即 $(x-y)^2 = \frac{1}{2}$。取 $x = y + \frac{1}{\sqrt{2}}$ 或 $x = y - \frac{1}{\sqrt{2}}$，代入 $d^2 = x^2 + y^2$ 得到 $d^2 = 2y^2 + 1$ 或 $d^2 = 2y^2 + 1$，最小值为 $d^2 = \frac{1}{2}$，即 $d = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
给定的曲面方程为 $\sum _{i=1}^{2}{(x-y)}^{2}-{z}^{2}=1$，可以简化为 $(x-y)^2 + (x-y)^2 - z^2 = 1$，即 $2(x-y)^2 - z^2 = 1$。这是一个双曲抛物面方程。
步骤 2：设定距离函数
原点O(0,0,0)到曲面上任意点$(x,y,z)$的距离为 $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。为了简化计算，我们最小化距离的平方，即 $d^2 = x^2 + y^2 + z^2$。
步骤 3：使用拉格朗日乘数法
为了找到距离的最小值，我们使用拉格朗日乘数法。设拉格朗日函数为 $L(x,y,z,\lambda) = x^2 + y^2 + z^2 + \lambda(2(x-y)^2 - z^2 - 1)$。对$x,y,z,\lambda$求偏导并令其等于0，得到方程组：
$$
\begin{cases}
2x + \lambda \cdot 4(x-y) = 0 \\
2y - \lambda \cdot 4(x-y) = 0 \\
2z - \lambda \cdot 2z = 0 \\
2(x-y)^2 - z^2 = 1
\end{cases}
$$
步骤 4：求解方程组
从第三个方程得到 $\lambda = 1$ 或 $z = 0$。若 $\lambda = 1$，则前两个方程变为 $x + 2(x-y) = 0$ 和 $y - 2(x-y) = 0$，解得 $x = y$。代入第四个方程得到 $2(x-y)^2 - z^2 = 1$，即 $-z^2 = 1$，无解。因此，$z = 0$。此时，$2(x-y)^2 = 1$，即 $(x-y)^2 = \frac{1}{2}$。取 $x = y + \frac{1}{\sqrt{2}}$ 或 $x = y - \frac{1}{\sqrt{2}}$，代入 $d^2 = x^2 + y^2$ 得到 $d^2 = 2y^2 + 1$ 或 $d^2 = 2y^2 + 1$，最小值为 $d^2 = \frac{1}{2}$，即 $d = \frac{\sqrt{2}}{2}$。