题目
25 判断 (2分)设u=xye^z，求在点P_(0)(1,1,0)，沿P_(0)到P_(1)(-2,3,sqrt(3))方向的方向导数为(sqrt(3)-1)/(4).bigcircA.√bigcircB.×
25 判断 (2分)
设u=x$ye^{z}$，求在点$P_{0}(1,1,0)$，沿$P_{0}$到$P_{1}(-2,3,\sqrt{3})$方向的方向导数为$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$.
$\bigcirc$A.√
$\bigcirc$B.×
题目解答
答案
1. **计算向量**：
从 $ P_0(1,1,0) $ 到 $ P_1(-2,3,\sqrt{3}) $ 的向量 $\mathbf{v} = (-3, 2, \sqrt{3})$。
归一化得单位向量 $\mathbf{e} = \left( -\frac{3}{4}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{4} \right)$。
2. **计算梯度**：
梯度 $\nabla u = (y e^z, x e^z, x y e^z)$，在 $ P_0 $ 处为 $\nabla u|_{P_0} = (1, 1, 1)$。
3. **点积求方向导数**：
$\nabla u|_{P_0} \cdot \mathbf{e} = -\frac{3}{4} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3} - 1}{4}$。
**答案**：
与题目一致，故正确。
$\boxed{A}$
解析
步骤 1：计算向量
从 $ P_0(1,1,0) $ 到 $ P_1(-2,3,\sqrt{3}) $ 的向量 $\mathbf{v} = (-2 - 1, 3 - 1, \sqrt{3} - 0) = (-3, 2, \sqrt{3})$。 归一化得单位向量 $\mathbf{e} = \left( -\frac{3}{\sqrt{(-3)^2 + 2^2 + (\sqrt{3})^2}}, \frac{2}{\sqrt{(-3)^2 + 2^2 + (\sqrt{3})^2}}, \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{(-3)^2 + 2^2 + (\sqrt{3})^2}} \right) = \left( -\frac{3}{4}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{4} \right)$。
步骤 2：计算梯度
梯度 $\nabla u = (y e^z, x e^z, x y e^z)$，在 $ P_0 $ 处为 $\nabla u|_{P_0} = (1, 1, 1)$。
步骤 3：点积求方向导数
$\nabla u|_{P_0} \cdot \mathbf{e} = (1, 1, 1) \cdot \left( -\frac{3}{4}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{4} \right) = -\frac{3}{4} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3} - 1}{4}$。
从 $ P_0(1,1,0) $ 到 $ P_1(-2,3,\sqrt{3}) $ 的向量 $\mathbf{v} = (-2 - 1, 3 - 1, \sqrt{3} - 0) = (-3, 2, \sqrt{3})$。 归一化得单位向量 $\mathbf{e} = \left( -\frac{3}{\sqrt{(-3)^2 + 2^2 + (\sqrt{3})^2}}, \frac{2}{\sqrt{(-3)^2 + 2^2 + (\sqrt{3})^2}}, \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{(-3)^2 + 2^2 + (\sqrt{3})^2}} \right) = \left( -\frac{3}{4}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{4} \right)$。
步骤 2：计算梯度
梯度 $\nabla u = (y e^z, x e^z, x y e^z)$，在 $ P_0 $ 处为 $\nabla u|_{P_0} = (1, 1, 1)$。
步骤 3：点积求方向导数
$\nabla u|_{P_0} \cdot \mathbf{e} = (1, 1, 1) \cdot \left( -\frac{3}{4}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{4} \right) = -\frac{3}{4} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3} - 1}{4}$。