6.(1)设随机变量X的分布律为-|||-x -2 0 2-|||-pk 0.4 0.3 0.3-|||-求E(X),E(X^2), (3(X)^2+5) 。-|||-(2)设 sim pi (X) ,求 [ 1/(X+1)] .

本题主要考查离散型随机变量的的数学期望的计算，解题思路是根据期望的定义和性质来逐步求解。

（1）求$E(X)$，$2)求\(E(X^2)$，(3)求$E(3X^2 + 5)$

• 本题考查知识点：离散型随机变量期望的定义及期望的性质。
  解题思路：
• 对于离散型随机变量$X$，其期望$E(X)$的计算公式为$E(X)=\sum_{i}x_{i}p_{i$，其中$x_{i}$是随机变量$X$的取值，$p_{i}$是取值$X$取$x_{i}$时的概率。
• 对于$E(X^2)$，同样根据离散型随机变量函数的期望公式$E(g(X))=\sum_{i}g(x_{i})p_{i}$，这里$2)中\(g(X)=X^2$。
• 对于$E(3X^2 + 5)$，根据期望的性质$E(aY + b)=aE(Y)+b$（其中$a$、$b$为常数，$Y$为随机变量），可先求出$E(X^2)$，再计算$E(3X^2 + 5)$。

解析：

• 计算$E(X)$：
  已知随机变量$1)的分布律为\(P(X = - 2)=0.4$，$P(X = 0)=0.3$，$P(X = 2)=0.3$。
  根据期望的定义$E(X)=\sum_{i}x_{i}p_{i}}$，可得：
  $E(X)=(-2)\times0.4 + 0\times0.3+ 2\times0.3=-0.8 + 0+0.6=-0.2$
• 计算$E(X^2)$：
  根据离散型随机变量函数的期望公式$E(g(X))=\sum_{i}g(x_{i})p_{i}}$，这里$g(X)=X^2$，则：
  $E(X^2)=(-2)^2\times0.4+0^2\times0.3 + 2^2\times0.3$
  $=4\times0.4 + 0+4\times0.3$
  $=1.6 + 1.2=2.8$
• **计算$E(3X^2 + 5)$：
  根据期望的性质$E(aY + b)=aE(Y)+b$，这里$a = 3$，$b = 5$，$Y = X^2$，可得：
  $E(3X^2 + 5)=3E(X^2)+5$
  将$E(X^2)=2.8$代入上式得：
  $E(3X^2 + 5)=3\times2.8 + 5=8.4 + 5=13.4$

（2）设$X\sim \pi(\lambda)$，求$E[\frac{1}{X + 1}]$

本题考查知识点：泊松分布的概率质量函数以及离散型随机变量函数的期望。
解题思路：

• 已知$X\sim \pi(\lambda)$，其概率质量函数为$P(X = k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$，$k = 0,1,2,\cdots$。
• 再根据离散型随机变量函数的期望公式$E(g(X))=\sum_{k = 0}^{\infty}g(k)P(X = k)$，这里$g(X)=\frac{1}{X + 1}$，计算$E[\frac{1}{X + 1}]$。

解析：
因为$X\sim \pi(\lambda)$，其概率质量函数为$P(X = k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$，$k = 0,1,2,\cdots$。
根据离散型随机变量函数的期望公式$E(g(X))=\sum_{k = 0}^{\infty}g(k)P(X = k)$，这里$g(X)=\frac{1}{X + 1}$，则：
$E[\frac{1}{X + 1}]=\sum_{k = 0}^{\infty}\frac{1}{k + 1}\cdot\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$
$=e^{-\lambda}\sum_{k = 0}^{\infty}\frac{\lambda^{k}}{(k + 1)!}$
令$m=k + 1$，则$k=m - 1$，当$k = 0$时，$m = 1$；当$k\to\infty$时，$m\to\infty$，上式可化为：
$e^{-\lambda}\sum_{m = 1}^{\infty}\frac{\lambda^{m - 1}}{m!}=\frac{e^{-\lambda}{\lambda}\sum_{m = 1}^{\infty}\frac{\lambda^{m}}{m!}$
由指数函数的幂级数展开式$e^{x}=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}$，可得$\sum_{m = 1}^{\infty}\frac{\lambda^{m}}{m!}=e^{\lambda}-1$。
所以$E[\frac{1}{X + 1}]=\frac{e^{-\lambda}}{\lambda}(e^{\lambda}-1)=\frac{1}{\lambda}(1 - e^{-\lambda})$