题目

17.判断题(1分)设事件A与B相互独立,则A与overline(B)相互独立。()√ ×

17.判断题(1分) 设事件A与B相互独立,则A与$\overline{B}$相互独立。() √ ×

题目解答

答案

为了判断事件 $A$ 与 $\overline{B}$ 是否相互独立，我们需要使用相互独立事件的定义。两个事件 $X$ 和 $Y$ 相互独立，如果它们的交集的概率等于它们各自概率的乘积，即 $P(X \cap Y) = P(X)P(Y)$。 已知事件 $A$ 和 $B$ 相互独立，我们有： \[P(A \cap B) = P(A)P(B).\] 我们需要证明 $A$ 和 $\overline{B}$ 也相互独立，即证明： \[P(A \cap \overline{B}) = P(A)P(\overline{B}).\] 首先，我们使用补集的性质来表示 $P(A \cap \overline{B})$。事件 $A \cap \overline{B}$ 是事件 $A$ 中不属于 $B$ 的部分。因此，我们可以写成： \[P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B).\] 由于 $A$ 和 $B$ 相互独立，我们将 $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ 代入方程： \[P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A)P(B).\] 我们可以从右边提取 $P(A)$： \[P(A \cap \overline{B}) = P(A)(1 - P(B)).\] 根据补集的定义，$1 - P(B) = P(\overline{B})$。因此，我们有： \[P(A \cap \overline{B}) = P(A)P(\overline{B}).\] 这表明 $A$ 和 $\overline{B}$ 相互独立。因此，答案是： \[\boxed{\sqrt{}}.\]

解析

考查要点：本题主要考查事件独立性的定义及其推广性质，即若事件$A$与$B$独立，则$A$与$\overline{B}$是否也独立。

解题核心思路：

  1. 利用独立事件的定义：若$A$与$B$独立，则$P(A \cap B) = P(A)P(B)$。
  2. 分解概率关系：将$P(A \cap \overline{B})$表示为$P(A) - P(A \cap B)$，并结合独立性条件进行推导。
  3. 验证独立性条件：通过代数变形证明$P(A \cap \overline{B}) = P(A)P(\overline{B})$，从而得出结论。

破题关键点：

  • 补集的概率关系：$P(\overline{B}) = 1 - P(B)$。
  • 事件分解技巧：将$A$分解为$A \cap B$和$A \cap \overline{B}$的和，利用互斥事件的概率加法性质。

步骤1：写出已知条件
已知$A$与$B$独立，因此：
$P(A \cap B) = P(A)P(B).$

步骤2：表达$P(A \cap \overline{B})$
事件$A \cap \overline{B}$表示$A$发生但$B$不发生，可分解为：
$P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B}),$
因此：
$P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B).$

步骤3：代入独立性条件
将$P(A \cap B) = P(A)P(B)$代入上式：
$P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A)P(B) = P(A)(1 - P(B)).$

步骤4：关联补集概率
根据补集定义，$1 - P(B) = P(\overline{B})$，因此：
$P(A \cap \overline{B}) = P(A)P(\overline{B}).$

结论：
$A$与$\overline{B}$满足独立性定义，故答案为√。