8.5 在S系中观察到两个事件同时发生在x轴上,其间距离是1m。在S`系中观察这-|||-两个事件之间的距离是2m。求在S`系中这两个事件的时间间隔。

本题主要考察洛伦兹变换在不同惯性参考系中事件的空间间隔和时间间隔的变换关系，关键是利用洛伦兹变换公式求解相对速度及时间间隔。

步骤1：明确已知条件

在S系中：

• 两事件同时发生，时间间隔$\Delta t = 0$
• 空间间隔$\Delta x = 1\,\text{m}$

在S'系中：

• 空间间隔$\Delta x' = 2\,\text{m}$
• 待求时间间隔$\Delta t'$

步骤2：利用洛伦兹变换求相对速度$u$

洛伦兹变换中，空间间隔的关系为：
$\Delta x' = \frac{\Delta x}{\sqrt{1 - u^2/c^2}}$
已知$\Delta x' = 2\Delta x$，代入得：
$2\Delta x = \frac{\Delta x}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} \implies \sqrt{1 - u^2/c^2} = \frac{1}{2}$
平方后解得：
$1 - \frac{u^2}{c^2} = \frac{1}{4} \implies \frac{u^2}{c^2} = \frac{3}{4} \implies u = c\sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}c$

步骤3：利用洛伦兹变换求$\Delta t'$

洛伦兹变换中，时间间隔的关系为：
$\Delta t' = \frac{\Delta t - \frac{u}{c^2}\Delta x}{\sqrt{1 - u^2/c^2}}$
因$\Delta t = 0$，代入$\Delta x = 1\,\text{m}$、$\sqrt{1 - u^2/c^2} = \frac{1}{2}$、$u = \frac{\sqrt{3}}{2}c$：
$\Delta t' = \frac{0 - \frac{\sqrt{3}/2 \cdot c}{c^2} \cdot 1}{\frac{1}{2}} = -\frac{\sqrt{3}}{c}$
取绝对值：
$|\Delta t'| = \frac{\sqrt{3}}{c} = \frac{\sqrt{3}}{3 \times 10^8} \approx 5.77 \times 10^{-9}\,\text{s}$