8.填空题lim_(xto1)(sqrt(3-x)-sqrt(1+x))/(1-x^2)=lim_(xto1)(w_(1)cdot(1-x))/((w_(2))(1-x)(sqrt(3-x)+sqrt(1+x)))=(sqrt(w_(3)))/(w_(4)).这里，w_(1)=____、w_(2)=____、w_(3)=____、w_(4)=____.
题目解答
答案
将原式分子有理化，得
$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{3-x} - \sqrt{1+x}}{1-x^2} = \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{3-x} - \sqrt{1+x})(\sqrt{3-x} + \sqrt{1+x})}{(1-x^2)(\sqrt{3-x} + \sqrt{1+x})} = \lim_{x \to 1} \frac{2(1-x)}{(1-x)(1+x)(\sqrt{3-x} + \sqrt{1+x})}.$
消去公因子 $1-x$，得
$\lim_{x \to 1} \frac{2}{(1+x)(\sqrt{3-x} + \sqrt{1+x})} = \frac{2}{2 \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}.$
与题目给定形式比较，得
$w_1 = 2, \quad w_2 = 1 + x, \quad w_3 = 2, \quad w_4 = 4.$
答案：
$\boxed{\begin{array}{cccc}w_1 &=& 2, \\w_2 &=& 1 + x, \\w_3 &=& 2, \\w_4 &=& 4.\end{array}}$
（注：题目要求表达式，$w_2$ 为 $1+x$，若求极限值，$w_2$ 可取 $2$。）
解析
本题考查极限的计算，核心思路是通过分子有理化消除分母中的根号差，再结合因式分解约简表达式。关键在于：
- 分子有理化：通过乘以共轭表达式消去分子中的根号差；
- 分母因式分解：将分母$1-x^2$分解为$(1-x)(1+x)$，与分子中的$(1-x)$约简；
- 代入求值：约简后直接代入$x=1$计算最终结果。
分子有理化
原式分子为$\sqrt{3-x} - \sqrt{1+x}$，乘以共轭$\sqrt{3-x} + \sqrt{1+x}$：
$\begin{aligned}\text{分子} &= (\sqrt{3-x} - \sqrt{1+x})(\sqrt{3-x} + \sqrt{1+x}) \\&= (3-x) - (1+x) = 2(1-x).\end{aligned}$
因此，$w_1 = 2$。
分母分解
原分母$1-x^2$分解为$(1-x)(1+x)$，因此：
$\text{分母} = (1-x^2)(\sqrt{3-x} + \sqrt{1+x}) = (1-x)(1+x)(\sqrt{3-x} + \sqrt{1+x}).$
故$w_2 = 1+x$。
约简与代入
约去公因子$(1-x)$后，表达式变为：
$\frac{2}{(1+x)(\sqrt{3-x} + \sqrt{1+x})}.$
代入$x=1$：
$1+x = 2, \quad \sqrt{3-x} = \sqrt{2}, \quad \sqrt{1+x} = \sqrt{2},$
分母为$2 \cdot (\sqrt{2} + \sqrt{2}) = 4\sqrt{2}$，分子为$2$，故：
$\frac{2}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}.$
与题目形式$\frac{\sqrt{w_3}}{w_4}$对比，得$w_3 = 2$，$w_4 = 4$。