设alpha为常数，则级数sum_(n=1)^infty(-1)^n-1sin(alpha)/(n)(alpha >0)A. 条件收敛B. 绝对收敛C. 发散D. 收敛与否与alpha有关

本题考查级数敛散性的判断，具体涉及到绝对收敛、条件收敛的概念以及正项级数的比较判别法和交错级数的莱布尼茨判别法。解题思路是先判断该级数的绝对值级数的敛散性，若绝对值级数收敛，则原级数绝对收敛；若绝对值级数发散，再判断原级数是否收敛，若收敛则为条件收敛。

1. 判断绝对值级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\vert (-1)^{n - 1}\sin\frac{\alpha}{n}\vert=\sum_{n = 1}^{\infty}\sin\frac{\alpha}{n}$的敛散性

当$n\to\infty$时，$\frac{\alpha}{n}\to0$，根据等价无穷小的知识，当$x\to0$时，$\sin x\sim x$，所以当$n\to\infty$时，$\sin\frac{\alpha}{n}\sim\frac{\alpha}{n}$。
考虑正项级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\alpha}{n}=\alpha\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$，因为$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$是调和级数，调和级数是发散的，而$\alpha>0$，所以$\alpha\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$也发散。
根据正项级数的比较判别法的极限形式，设$u_n=\sin\frac{\alpha}{n}$，$v_n = \frac{\alpha}{n}$，计算$\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}$：
$\begin{align*}\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\frac{\alpha}{n}}{\frac{\alpha}{n}}&=\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}&(\text{令}t = \frac{\alpha}{n})\\&= 1\end{align*}$
因为$\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=1>0$，且$\sum_{n = 1}^{\infty}v_n=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\alpha}{n}$发散，所以$\sum_{n = 1}^{\infty}u_n=\sum_{n = 1}^{\infty}\sin\frac{\alpha}{n}$发散，即原级数不绝对收敛。

2. 判断原级数$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n - 1}\sin\frac{\alpha}{n}$的敛散性

设$u_n=\sin\frac{\alpha}{n}$，则$u_{n+1}=\sin\frac{\alpha}{n + 1}$。

• 单调性：对函数$f(x)=\sin\frac{\alpha}{x}(\alpha>0)$求导，根据复合函数求导法则$(f(g(x)))^\prime=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)$，$f^\prime(x)=\cos\frac{\alpha}{x}\cdot(-\frac{\alpha}{x^2})$，当$x\geq1$时，$f^\prime(x)<0$，所以$f(x)$在$[1,+\infty)$上单调递减，则$u_n=\sin\frac{\alpha}{n}$单调递减，即$u_n>u_{n + 1}$。
• 极限：$\lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\sin\frac{\alpha}{n}=0$。
  根据交错级数的莱布尼茨判别法，若交错级数$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n - 1}u_n$（$u_n>0$）满足$u_n>u_{n + 1}(n = 1,2,\cdots)$且$\lim_{n\to\infty}u_n = 0$，则该交错级数收敛。所以原级数$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n - 1}\sin\frac{\alpha}{n}$收敛。

由于原级数收敛但不绝对收敛，所以原级数条件收敛。