(16)设 D= |} 1& 2& 3& 4 2& 3& 4& 1 3& 4& 1& 2 4& 1& 2& 3= __ ;

本题考查行列式的性质及代数余子式的应用。关键点在于构造辅助行列式，利用行列式按列展开的性质，结合行列式为零的条件（如存在重复列）来求解。

核心思路：

1. 代数余子式展开：若某行列式按某一列展开，其值等于该列元素与对应代数余子式的乘积之和。
2. 构造辅助行列式：将原行列式某列替换为题目中的系数，若新行列式出现重复列，则其值为零，从而直接得出所求表达式的值。

构造辅助行列式

设辅助行列式 $D_1$，将原行列式 $D$ 的第四列替换为系数 $1, 2, 3, 4$，即：
$D_1 = \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & 1 \\2 & 3 & 4 & 2 \\3 & 4 & 1 & 3 \\4 & 1 & 2 & 4\end{vmatrix}$

分析行列式性质

观察 $D_1$ 的列：

• 原第四列（替换前）为 $4, 1, 2, 3$，替换后变为 $1, 2, 3, 4$。
• 新第四列 $1, 2, 3, 4$ 与原第一列 $1, 2, 3, 4$ 完全相同，因此 $D_1$ 存在两列重复，其值为 $0$。

应用展开定理

按行列式展开定理，$D_1$ 的值等于第四列元素与对应代数余子式的乘积之和：
$D_1 = 1 \cdot A_{14} + 2 \cdot A_{24} + 3 \cdot A_{34} + 4 \cdot A_{44}$
由于 $D_1 = 0$，故：
$A_{14} + 2A_{24} + 3A_{34} + 4A_{44} = 0$