第一章 信号的分类与描述1-1 求周期方波(见图1-4)的傅里叶级数(复指数函数形式),划出|cn|–ω和φn–ω图,并与表1-1对比。x(t)-|||-A-|||--dfrac ({T)_(0)}(2) dfrac ({T)_(0)}(2) square -|||--(1)_(0) 0 To-|||-t-|||--A-|||-图 1-4 周期方波信号波形图解答:在一个周期的表达式为积分区间取(-T/2,T/2)所以复指数函数形式的傅里叶级数为x(t)-|||-A-|||--dfrac ({T)_(0)}(2) dfrac ({T)_(0)}(2) square -|||--(1)_(0) 0 To-|||-t-|||--A-|||-图 1-4 周期方波信号波形图,x(t)-|||-A-|||--dfrac ({T)_(0)}(2) dfrac ({T)_(0)}(2) square -|||--(1)_(0) 0 To-|||-t-|||--A-|||-图 1-4 周期方波信号波形图。没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。x(t)-|||-A-|||--dfrac ({T)_(0)}(2) dfrac ({T)_(0)}(2) square -|||--(1)_(0) 0 To-|||-t-|||--A-|||-图 1-4 周期方波信号波形图1-2 求正弦信号x(t)-|||-A-|||--dfrac ({T)_(0)}(2) dfrac ({T)_(0)}(2) square -|||--(1)_(0) 0 To-|||-t-|||--A-|||-图 1-4 周期方波信号波形图的绝对均值x(t)-|||-A-|||--dfrac ({T)_(0)}(2) dfrac ({T)_(0)}(2) square -|||--(1)_(0) 0 To-|||-t-|||--A-|||-图 1-4 周期方波信号波形图和均方根值x(t)-|||-A-|||--dfrac ({T)_(0)}(2) dfrac ({T)_(0)}(2) square -|||--(1)_(0) 0 To-|||-t-|||--A-|||-图 1-4 周期方波信号波形图。解答:x(t)-|||-A-|||--dfrac ({T)_(0)}(2) dfrac ({T)_(0)}(2) square -|||--(1)_(0) 0 To-|||-t-|||--A-|||-图 1-4 周期方波信号波形图1-3 求指数函数x(t)-|||-A-|||--dfrac ({T)_(0)}(2) dfrac ({T)_(0)}(2) square -|||--(1)_(0) 0 To-|||-t-|||--A-|||-图 1-4 周期方波信号波形图的频谱。解答:x(t)-|||-A-|||--dfrac ({T)_(0)}(2) dfrac ({T)_(0)}(2) square -|||--(1)_(0) 0 To-|||-t-|||--A-|||-图 1-4 周期方波信号波形图1-4 求符号函数(见图1-25a)和单位阶跃函数(见图1-25b)的频谱。x(t)-|||-A-|||--dfrac ({T)_(0)}(2) dfrac ({T)_(0)}(2) square -|||--(1)_(0) 0 To-|||-t-|||--A-|||-图 1-4 周期方波信号波形图a)符号函数的频谱t=0处可不予定义,或规定sgn(0)=0。该信号不满足绝对可积条件,不能直接求解,但傅里叶变换存在。可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘,这样便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号x1(t)的频谱,然后取极限得出符号函数x(t)的频谱。x(t)-|||-A-|||--dfrac ({T)_(0)}(2) dfrac ({T)_(0)}(2) square -|||--(1)_(0) 0 To-|||-t-|||--A-|||-图 1-4 周期方波信号波形图b)阶跃函数频谱在跳变点t=0处函数值未定义,或规定u(0)=1/2。阶跃信号不满足绝对可积条件,但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件,不能直接求其傅里叶变换,可采用如下方法求解。解法1:利用符号函数结果表明,单位阶跃信号u(t)的频谱在f=0处存在一个冲激分量,这是因为u(t)含有直流分量,在预料之中。同时,由于u(t)不是纯直流信号,在t=0处有跳变,因此在频谱中还包含其它频率分量。x(t)-|||-A-|||--dfrac ({T)_(0)}(2) dfrac ({T)_(0)}(2) square -|||--(1)_(0) 0 To-|||-t-|||--A-|||-图 1-4 周期方波信号波形图解法2:利用冲激函数根据傅里叶变换的积分特性1-5 求被截断的余弦函数x(t)-|||-A-|||--dfrac ({T)_(0)}(2) dfrac ({T)_(0)}(2) square -|||--(1)_(0) 0 To-|||-t-|||--A-|||-图 1-4 周期方波信号波形图 (见图1-26)的傅里叶变换。x(t)-|||-A-|||--dfrac ({T)_(0)}(2) dfrac ({T)_(0)}(2) square -|||--(1)_(0) 0 To-|||-t-|||--A-|||-图 1-4 周期方波信号波形图x(t)-|||-A-|||--dfrac ({T)_(0)}(2) dfrac ({T)_(0)}(2) square -|||--(1)_(0) 0 To-|||-t-|||--A-|||-图 1-4 周期方波信号波形图
第一章 信号的分类与描述
1-1 求周期方波(见图1-4)的傅里叶级数(复指数函数形式),划出|cn|–ω和φn–ω图,并与表1-1对比。
解答:在一个周期的表达式为
积分区间取(-T/2,T/2)
所以复指数函数形式的傅里叶级数为
,
。
没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。
1-2 求正弦信号
的绝对均值
和均方根值
。
解答:
1-3 求指数函数
的频谱。
解答:
1-4 求符号函数(见图1-25a)和单位阶跃函数(见图1-25b)的频谱。
a)符号函数的频谱
t=0处可不予定义,或规定sgn(0)=0。
该信号不满足绝对可积条件,不能直接求解,但傅里叶变换存在。
可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘,这样便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号x1(t)的频谱,然后取极限得出符号函数x(t)的频谱。
b)阶跃函数频谱
在跳变点t=0处函数值未定义,或规定u(0)=1/2。
阶跃信号不满足绝对可积条件,但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件,不能直接求其傅里叶变换,可采用如下方法求解。
解法1:利用符号函数
结果表明,单位阶跃信号u(t)的频谱在f=0处存在一个冲激分量,这是因为u(t)含有直流分量,在预料之中。同时,由于u(t)不是纯直流信号,在t=0处有跳变,因此在频谱中还包含其它频率分量。
解法2:利用冲激函数
根据傅里叶变换的积分特性
1-5 求被截断的余弦函数
(见图1-26)的傅里叶变换。
题目解答
答案
解:
w(t)为矩形脉冲信号
所以
根据频移特性和叠加性得:
可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二,各向左右移动f,同时谱线高度减小一半。也说明,单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。
1-6 求指数衰减信号
的频谱
解答:
所以
单边指数衰减信号
的频谱密度函数为
根据频移特性和叠加性得:
1-7 设有一时间函数f(t)及其频谱如图1-27所示。现乘以余弦型振荡
。在这个关系中,函数f(t)叫做调制信号,余弦振荡叫做载波。试求调幅信号
的傅里叶变换,示意画出调幅信号及其频谱。又问:若
时将会出现什么情况?
解:
所以
根据频移特性和叠加性得:
可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二,各向左右移动载频ω,同时谱线高度减小一半。
若将发生混叠。
1-8 求正弦信号
的均值
、均方值
和概率密度函数p(x)。
解答:
(1) 
,式中
—正弦信号周期
(2) 
(3)在一个周期内
