题目
. 讨论函数 (x)=lim _(narrow infty )dfrac (1-{x)^2n}(1+{x)^2n}x(nin (N)_(+)) 的连续性,若有间断点,则判别其类型.
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析函数在不同区间的行为
首先，我们分析函数 $f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1-{x}^{2n}}{1+{x}^{2n}}x$ 在不同区间的行为。根据 $x$ 的值，我们可以将区间分为三部分：$|x|>1$，$|x|=1$，和 $|x|<1$。
步骤 2：计算 $|x|>1$ 时的极限
当 $|x|>1$ 时，$x^{2n}$ 会随着 $n$ 的增加而趋向于无穷大。因此，$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1-{x}^{2n}}{1+{x}^{2n}}=-1$，所以 $f(x)=-x$。
步骤 3：计算 $|x|=1$ 时的极限
当 $|x|=1$ 时，$x^{2n}=1$，因此 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1-{x}^{2n}}{1+{x}^{2n}}=0$，所以 $f(x)=0$。
步骤 4：计算 $|x|<1$ 时的极限
当 $|x|<1$ 时，$x^{2n}$ 会随着 $n$ 的增加而趋向于0。因此，$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1-{x}^{2n}}{1+{x}^{2n}}=1$，所以 $f(x)=x$。
步骤 5：判断函数的连续性
根据以上分析，函数 $f(x)$ 在 $|x|>1$ 时为 $-x$，在 $|x|=1$ 时为 $0$，在 $|x|<1$ 时为 $x$。因此，函数在 $x=±1$ 处不连续，因为左极限和右极限不相等，所以是跳跃间断点。
首先，我们分析函数 $f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1-{x}^{2n}}{1+{x}^{2n}}x$ 在不同区间的行为。根据 $x$ 的值，我们可以将区间分为三部分：$|x|>1$，$|x|=1$，和 $|x|<1$。
步骤 2：计算 $|x|>1$ 时的极限
当 $|x|>1$ 时，$x^{2n}$ 会随着 $n$ 的增加而趋向于无穷大。因此，$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1-{x}^{2n}}{1+{x}^{2n}}=-1$，所以 $f(x)=-x$。
步骤 3：计算 $|x|=1$ 时的极限
当 $|x|=1$ 时，$x^{2n}=1$，因此 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1-{x}^{2n}}{1+{x}^{2n}}=0$，所以 $f(x)=0$。
步骤 4：计算 $|x|<1$ 时的极限
当 $|x|<1$ 时，$x^{2n}$ 会随着 $n$ 的增加而趋向于0。因此，$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1-{x}^{2n}}{1+{x}^{2n}}=1$，所以 $f(x)=x$。
步骤 5：判断函数的连续性
根据以上分析，函数 $f(x)$ 在 $|x|>1$ 时为 $-x$，在 $|x|=1$ 时为 $0$，在 $|x|<1$ 时为 $x$。因此，函数在 $x=±1$ 处不连续，因为左极限和右极限不相等，所以是跳跃间断点。