题目
(本题10分)仓库中有10箱同一规格的产品,其中2箱由甲厂生产,3箱由乙厂生产,5箱由丙厂生产。三厂产品的合格率分别为85%、80%、90%.(1)求这批产品的合格率;(2)从这10箱中任取一箱,再从该箱中任取一件,若此产品为合格品,问此产品是由甲厂生产的概率为多少?
(本题10分)仓库中有10箱同一规格的产品,其中2箱由甲厂生产,3箱由乙厂生产,
5箱由丙厂生产。三厂产品的合格率分别为85%、80%、90%.
(1)求这批产品的合格率;
(2)从这10箱中任取一箱,再从该箱中任取一件,若此产品为合格品,问此产品是
由甲厂生产的概率为多少?
题目解答
答案
解:设事件
=“任取一件产品是合格品”, 事件
分别表示任取一产品是由甲厂、乙厂、丙厂生产的,有已知题意可得
,且
=85%,
,
,
(1) 产品的合格率即
,由全概率公式可得
=85%×0.2+80%×0.3+90%×0.5=0.86 -----------------6分
(2) 即求
,由贝叶斯公式得
=
-----------------------10分
解析
步骤 1：定义事件
设事件A表示“任取一件产品是合格品”，事件B1、B2、B3分别表示任取一产品是由甲厂、乙厂、丙厂生产的。根据题意，有$P(B_1)=0.2$，$P(B_2)=0.3$，$P(B_3)=0.5$，且$P(A|B_1)=85\%$，$P(A|B_2)=80\%$，$P(A|B_3)=90\%$。
步骤 2：计算产品的合格率
产品的合格率即$P(A)$，由全概率公式可得
$P(A)=\sum_{i=1}^{3}P(A|B_i)P(B_i)$
$=85\%\times0.2+80\%\times0.3+90\%\times0.5$
$=0.86$。
步骤 3：计算产品由甲厂生产的概率
即求$P(B_1|A)$，由贝叶斯公式得
$P(B_1|A)=\dfrac{P(A|B_1)P(B_1)}{P(A)}$
$=\dfrac{85\%\times0.2}{0.86}$
$=\dfrac{17}{86}$
$\approx0.198$。
设事件A表示“任取一件产品是合格品”，事件B1、B2、B3分别表示任取一产品是由甲厂、乙厂、丙厂生产的。根据题意，有$P(B_1)=0.2$，$P(B_2)=0.3$，$P(B_3)=0.5$，且$P(A|B_1)=85\%$，$P(A|B_2)=80\%$，$P(A|B_3)=90\%$。
步骤 2：计算产品的合格率
产品的合格率即$P(A)$，由全概率公式可得
$P(A)=\sum_{i=1}^{3}P(A|B_i)P(B_i)$
$=85\%\times0.2+80\%\times0.3+90\%\times0.5$
$=0.86$。
步骤 3：计算产品由甲厂生产的概率
即求$P(B_1|A)$，由贝叶斯公式得
$P(B_1|A)=\dfrac{P(A|B_1)P(B_1)}{P(A)}$
$=\dfrac{85\%\times0.2}{0.86}$
$=\dfrac{17}{86}$
$\approx0.198$。