题目
5.等比级数 sum_(n=0)^infty(1)/(2^n)=_____.
5.等比级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}=$_____.
题目解答
答案
为了求解等比级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}$ 的和，我们首先需要识别这个级数是一个等比级数。等比级数的一般形式为：
\[
\sum_{n=0}^{\infty} ar^n
\]
其中 $a$ 是首项，$r$ 是公比。在给定的级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}$ 中，我们可以将它重写为：
\[
\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n
\]
从这里，我们可以看出首项 $a = 1$，公比 $r = \frac{1}{2}$。
对于一个等比级数 $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$，如果公比 $|r| < 1$，那么级数收敛，其和 $S$ 可以用以下公式计算：
\[
S = \frac{a}{1 - r}
\]
在我们的例子中， $a = 1$ 和 $r = \frac{1}{2}$，满足 $|r| < 1$ 的条件。因此，我们可以将这些值代入公式中：
\[
S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}}
\]
接下来，我们进行分母的计算：
\[
1 - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
\]
所以，和 $S$ 变为：
\[
S = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 1 \times \frac{2}{1} = 2
\]
因此，等比级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}$ 的和是 $\boxed{2}$。
解析
步骤 1：识别等比级数
给定的级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}$ 可以重写为 $\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n$，这是一个等比级数，其中首项 $a = 1$，公比 $r = \frac{1}{2}$。
步骤 2：应用等比级数求和公式
等比级数 $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$ 的和 $S$ 可以用公式 $S = \frac{a}{1 - r}$ 计算，其中 $|r| < 1$。在本例中，$a = 1$，$r = \frac{1}{2}$，满足 $|r| < 1$ 的条件。
步骤 3：计算和
将 $a = 1$ 和 $r = \frac{1}{2}$ 代入公式 $S = \frac{a}{1 - r}$，得到 $S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$。
给定的级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}$ 可以重写为 $\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n$，这是一个等比级数，其中首项 $a = 1$，公比 $r = \frac{1}{2}$。
步骤 2：应用等比级数求和公式
等比级数 $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$ 的和 $S$ 可以用公式 $S = \frac{a}{1 - r}$ 计算，其中 $|r| < 1$。在本例中，$a = 1$，$r = \frac{1}{2}$，满足 $|r| < 1$ 的条件。
步骤 3：计算和
将 $a = 1$ 和 $r = \frac{1}{2}$ 代入公式 $S = \frac{a}{1 - r}$，得到 $S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$。