非齐次线性方程组由系数矩阵决定

考查要点：本题主要考查非齐次线性方程组解的存在性、唯一性条件，以及通解的结构形式。
解题核心思路：

1. 解的存在性：非齐次方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。
2. 解的唯一性：当系数矩阵的秩等于未知数个数时，方程组有唯一解；否则有无穷多解。
3. 通解结构：通解由齐次方程组的基础解系与非齐次方程组的一个特解组成，自由未知数的个数决定参数的个数。

破题关键点：

• 秩的比较：通过比较系数矩阵和增广矩阵的秩判断解的存在性。
• 基础解系与特解：齐次方程组的基础解系由自由未知数确定，非齐次方程组的通解需结合特解。

非齐次线性方程组解的存在性与唯一性

1. 存在性条件：
   非齐次方程组 $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 有解的充要条件是 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即 $\text{rank}(A) = \text{rank}(A|\boldsymbol{b})$。若不满足，则方程组无解。

2. 唯一性条件：

   • 唯一解：当 $\text{rank}(A) = n$（$n$ 为未知数个数）时，方程组有唯一解。
   • 无穷多解：当 $\text{rank}(A) < n$ 时，方程组有无穷多解。

通解的结构

1. 齐次方程组的基础解系：
   对应齐次方程组 $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 的基础解系中向量个数为 $n - r$（$r = \text{rank}(A)$），由自由未知数确定。

2. 非齐次方程组的通解：
   通解形式为 特解 + 齐次方程组的通解，即：
   $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\eta} + k_1\boldsymbol{\xi}_1 + k_2\boldsymbol{\xi}_2 + \cdots + k_{n-r}\boldsymbol{\xi}_{n-r},$
   其中 $\boldsymbol{\eta}$ 是特解，$\boldsymbol{\xi}_i$ 是基础解系，$k_i$ 是自由参数。