题目
曲面z=√2-x^2-y^2及z=√2-x^2-y^2所围成部分在z=√2-x^2-y^2坐标面上的投影为z=√2-x^2-y^2A z=√2-x^2-y^2B z=√2-x^2-y^2C z=√2-x^2-y^2D z=√2-x^2-y^2
曲面
及
所围成部分在
坐标面上的投影为
A 
B 
C 
D 
题目解答
答案
由题意
联立得
，解得，∴曲面及所围成部分在坐标面上的投影为，故答案选B
解析
步骤 1：联立两个曲面方程
联立曲面方程$z=\sqrt {2-{x}^{2}-{y}^{2}}$和$z={x}^{2}+{y}^{2}$，得到$\sqrt {2-{x}^{2}-{y}^{2}}={x}^{2}+{y}^{2}$。
步骤 2：解方程
将方程$\sqrt {2-{x}^{2}-{y}^{2}}={x}^{2}+{y}^{2}$两边平方，得到$2-{x}^{2}-{y}^{2}=({x}^{2}+{y}^{2})^{2}$，即$2-{x}^{2}-{y}^{2}={x}^{4}+2{x}^{2}{y}^{2}+{y}^{4}$。
步骤 3：化简方程
化简得到${x}^{4}+2{x}^{2}{y}^{2}+{y}^{4}+{x}^{2}+{y}^{2}-2=0$，即$({x}^{2}+{y}^{2})^{2}+({x}^{2}+{y}^{2})-2=0$。
步骤 4：求解${x}^{2}+{y}^{2}$
令$t={x}^{2}+{y}^{2}$，则方程变为$t^{2}+t-2=0$，解得$t=1$或$t=-2$。由于${x}^{2}+{y}^{2}\geqslant 0$，所以${x}^{2}+{y}^{2}=1$。
步骤 5：确定投影区域
由于${x}^{2}+{y}^{2}=1$是曲面$z=\sqrt {2-{x}^{2}-{y}^{2}}$和$z={x}^{2}+{y}^{2}$的交线在xoy坐标面上的投影，而曲面$z=\sqrt {2-{x}^{2}-{y}^{2}}$的定义域为${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 2$，所以曲面$z=\sqrt {2-{x}^{2}-{y}^{2}}$及$z={x}^{2}+{y}^{2}$所围成部分在xoy坐标面上的投影为${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 2$。
联立曲面方程$z=\sqrt {2-{x}^{2}-{y}^{2}}$和$z={x}^{2}+{y}^{2}$，得到$\sqrt {2-{x}^{2}-{y}^{2}}={x}^{2}+{y}^{2}$。
步骤 2：解方程
将方程$\sqrt {2-{x}^{2}-{y}^{2}}={x}^{2}+{y}^{2}$两边平方，得到$2-{x}^{2}-{y}^{2}=({x}^{2}+{y}^{2})^{2}$，即$2-{x}^{2}-{y}^{2}={x}^{4}+2{x}^{2}{y}^{2}+{y}^{4}$。
步骤 3：化简方程
化简得到${x}^{4}+2{x}^{2}{y}^{2}+{y}^{4}+{x}^{2}+{y}^{2}-2=0$，即$({x}^{2}+{y}^{2})^{2}+({x}^{2}+{y}^{2})-2=0$。
步骤 4：求解${x}^{2}+{y}^{2}$
令$t={x}^{2}+{y}^{2}$，则方程变为$t^{2}+t-2=0$，解得$t=1$或$t=-2$。由于${x}^{2}+{y}^{2}\geqslant 0$，所以${x}^{2}+{y}^{2}=1$。
步骤 5：确定投影区域
由于${x}^{2}+{y}^{2}=1$是曲面$z=\sqrt {2-{x}^{2}-{y}^{2}}$和$z={x}^{2}+{y}^{2}$的交线在xoy坐标面上的投影，而曲面$z=\sqrt {2-{x}^{2}-{y}^{2}}$的定义域为${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 2$，所以曲面$z=\sqrt {2-{x}^{2}-{y}^{2}}$及$z={x}^{2}+{y}^{2}$所围成部分在xoy坐标面上的投影为${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 2$。