10. (4.0分) lim_(n to infty)u_(n)=0 是级数 sum_(n=1)^inftyu_(n) 收敛的() (4.0)A. 必要条件B. 充分条件C. 充分必要条件D. 无关条件

本题考查级数收敛的必要条件这一知识点。解题思路是根据级数收敛的定义和性质，通过分析级数收敛时通项的极限情况，来判断$\lim_{n \to \infty}u_{n}=0$与级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$收敛之间的关系。

1. 明确级数收敛的定义

设级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}=u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}+\cdots$，其前$n$项和为$S_{n}=u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}$。若$\lim_{n \to \infty}S_{n}=S$（$S$为常数），则称级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$收敛，且和为$S$；否则称级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$发散。

2. 推导级数收敛时通项的极限

当级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$收敛时，设其和为$S$，即$\lim_{n \to \infty}S_{n}=S$。
同时，$S_{n - 1}=u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n - 1}$，且$\lim_{n \to \infty}S_{n - 1}=S$（因为$n-1$与$n$在$n\to\infty$时是等价的）。
而$u_{n}=S_{n}-S_{n - 1}$，根据极限的运算法则$\lim_{n \to \infty}u_{n}=\lim_{n \to \infty}(S_{n}-S_{n - 1})$。
由极限的减法法则$\lim_{n \to \infty}(a_{n}-b_{n})=\lim_{n \to \infty}a_{n}-\lim_{n \to \infty}b_{n}$（当$\lim_{n \to \infty}a_{n}$和$\lim_{n \to \infty}b_{n}$都存在时），可得$\lim_{n \to \infty}u_{n}=\lim_{n \to \infty}S_{n}-\lim_{n \to \infty}S_{n - 1}=S - S = 0$。
这就说明如果级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$收敛，那么一定有$\lim_{n \to \infty}u_{n}=0$，即$\lim_{n \to \infty}u_{n}=0$是级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$收敛的必要条件。

3. 说明$\lim_{n \to \infty}u_{n}=0$不是充分条件

举反例，调和级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}+\cdots$，其中$u_{n}=\frac{1}{n}$，$\lim_{n \to \infty}u_{n}=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}=0$。
但调和级数是发散的，这表明当$\lim_{n \to \infty}u_{n}=0$时，级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$不一定收敛，所以$\lim_{n \to \infty}u_{n}=0$不是级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$收敛的充分条件。

综上，$\lim_{n \to \infty}u_{n}=0$是级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$收敛的必要条件。