题目

2.若随机变量ξ在(1，5)上的服从均匀分布，则方程x^2+xi x+1=0有实根的概率为_____.

2.若随机变量ξ在(1，5)上的服从均匀分布，则方程$x^{2}+\xi x+1=0$有实根的概率为_____.

题目解答

答案

为了确定方程 $x^2 + \xi x + 1 = 0$ 有实根的概率，其中 $\xi$ 在区间 $(1, 5)$ 上服从均匀分布，我们需要使用二次方程有实根的条件。一个二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 有实根当且仅当其判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 非负。对于给定的方程 $x^2 + \xi x + 1 = 0$，系数为 $a = 1$，$b = \xi$，和 $c = 1$。因此，判别式为： \[ \Delta = \xi^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = \xi^2 - 4 \] 为了使方程有实根，判别式必须非负： \[ \xi^2 - 4 \geq 0 \implies \xi^2 \geq 4 \implies |\xi| \geq 2 \] 由于 $\xi$ 在区间 $(1, 5)$ 上服从均匀分布，$\xi$ 是正数，因此不等式简化为： \[ \xi \geq 2 \] 现在，我们需要找到 $\xi \geq 2$ 的概率。均匀分布的概率密度函数 $f(\xi)$ 在区间 $(1, 5)$ 上由下式给出： \[ f(\xi) = \frac{1}{5 - 1} = \frac{1}{4} \] $\xi \geq 2$ 的概率是区间 $[2, 5)$ 上概率密度函数的积分： \[ P(\xi \geq 2) = \int_{2}^{5} f(\xi) \, d\xi = \int_{2}^{5} \frac{1}{4} \, d\xi = \frac{1}{4} \left[ \xi \right]_{2}^{5} = \frac{1}{4} (5 - 2) = \frac{3}{4} \] 因此，方程 $x^2 + \xi x + 1 = 0$ 有实根的概率为： \[ \boxed{\frac{3}{4}} \]

解析

考查要点：本题主要考查均匀分布的概率计算以及二次方程有实根的条件。
解题思路：

  1. 判别式条件：方程$x^2 + \xi x + 1 = 0$有实根的条件是判别式$\Delta \geq 0$，即$\xi^2 - 4 \geq 0$。
  2. 范围分析：结合$\xi$在$(1,5)$上的分布，确定满足$\xi \geq 2$的区间长度。
  3. 概率计算：利用均匀分布的概率密度函数，计算对应区间的概率。

步骤1：确定判别式条件

方程$x^2 + \xi x + 1 = 0$的判别式为：
$\Delta = \xi^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = \xi^2 - 4$
方程有实根的条件是$\Delta \geq 0$，即：
$\xi^2 - 4 \geq 0 \implies \xi \geq 2 \quad \text{或} \quad \xi \leq -2$

步骤2：结合$\xi$的分布范围

由于$\xi$在$(1,5)$上服从均匀分布，$\xi$的取值范围为正数，因此$\xi \leq -2$不成立。只需考虑$\xi \geq 2$。

步骤3：计算概率

$\xi$在$[2,5)$区间内的概率为：
$P(\xi \geq 2) = \frac{\text{有效区间长度}}{\text{总区间长度}} = \frac{5 - 2}{5 - 1} = \frac{3}{4}$