题目

4.已知A_(1),A_(2),A_(3)为样本空间的划分，且P(A_(1))=0.1,P(A_(2))=0.5,P(B|A_(1))=0.2,P(B|A_(2))=0.6,P(B|A_(3))=0.1,求P(A_(1)|B).

4.已知$A_{1},A_{2},A_{3}$为样本空间的划分，且$P(A_{1})=0.1,P(A_{2})=0.5,P(B|A_{1})=0.2,P(B|A_{2})=0.6,P(B|A_{3})=0.1$,求$P(A_{1}|B)$.

题目解答

答案

已知 $A_1, A_2, A_3$ 为样本空间的划分，且给定：

  • $P(A_1) = 0.1$，$P(A_2) = 0.5$，故由划分性质得 $P(A_3) = 1 - P(A_1) - P(A_2) = 0.4$
  • 条件概率：$P(B \mid A_1) = 0.2$，$P(B \mid A_2) = 0.6$，$P(B \mid A_3) = 0.1$

求解 $P(A_1 \mid B)$，步骤如下：

步骤一：用全概率公式计算 $P(B)$

由于 $A_1, A_2, A_3$ 构成划分，有：
$P(B) = \sum_{i=1}^{3} P(B \mid A_i)P(A_i) = 0.2 \times 0.1 + 0.6 \times 0.5 + 0.1 \times 0.4 = 0.36$

步骤二：应用贝叶斯公式计算 $P(A_1 \mid B)$

$P(A_1 \mid B) = \frac{P(B \mid A_1)P(A_1)}{P(B)} = \frac{0.02}{0.36} = \frac{1}{18}$