题目

设A= (} 3& 2& 3 1& 0& 0 -1& 2& 2 ) .,且满足XA=B+X,求矩阵X.

设 $A=\begin{pmatrix}3&2&3\\1&0&0\\-1&2&2\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\\3&1&2\end{pmatrix}$ ,且满足XA=B+X,求矩阵X.

题目解答

答案

由XA=B+X可得XA-X = B，即X(A-E) = B，其中E为单位矩阵

$A=\begin{pmatrix}3&2&3\\1&0&0\\-1&2&2\end{pmatrix},E=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ ，则 $A - E=\begin{pmatrix}2&2&3\\1&-1&0\\-1&2&1\end{pmatrix}$

因为X(A-E)=B，所以 $X = B(A - E)^{-1}$

$|A - E\vert=\begin{vmatrix}2&2&3\\1&-1&0\\-1&2&1\end{vmatrix}=-1\ne0$ 所以(A - E)可逆;

构造增广矩阵(A-E)|E求解A-E的逆矩阵，即： $\begin{pmatrix}2&2&3&1&0&0\\1&-1&0&0&1&0\\-1&2&1&0&0&1\end{pmatrix}$ 　

第一行加上第三行2倍，第二行加上第三行，得： $\begin{pmatrix}0&6&5&1&0&2\\0&1&1&0&1&1\\-1&2&1&0&0&1\end{pmatrix}$ 　　

第一行减去第二行的6倍，第三行减去第二行的2倍，得： $\begin{pmatrix}0&0&-1&1&-6&-4\\0&1&1&0&1&1\\-1&0&-1&0&-2&-1\end{pmatrix}$ 　

第二行加上第一行，第三行减去第一行，得：　 $\begin{pmatrix}0&0&-1&1&-6&-4\\0&1&0&0&-5&-3\\-1&0&0&-1&4&3\end{pmatrix}$ 　

第一行和第三行交换，并都乘-1,可得： $\begin{pmatrix}1&0&0&1&-4&-3\\0&1&0&0&-5&-3\\0&0&1&-1&6&4\end{pmatrix}$ 　

则 $(A-E)^{-1}\begin{pmatrix}1&-4&-3\\1&-5&-3\\-1&6&4\end{pmatrix}$

$X=B(A-E)^{-1}=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\\3&1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-4&-3\\1&-5&-3\\-1&6&4\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 0&4&3 \newline 0&5&3 \newline 2&-5&-4 \end{pmatrix}$

解析

步骤 1：将方程XA=B+X变形
方程XA=B+X可以变形为XA-X=B，即X(A-E)=B，其中E为单位矩阵。

步骤 2：计算A-E
A= $\left (\begin{matrix} 3& 2& 3\\ 1& 0& 0\\ -1& 2& 2\end{matrix} ) \right.$ $E=$ $\left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right.$，则A-E= $\left (\begin{matrix} 2& 2& 3\\ 1& -1& 0\\ -1& 2& 1\end{matrix} ) \right.$

步骤 3：计算(A-E)的逆矩阵
因为X(A-E)=B，所以$X=B{(A-E)}^{-1}$。首先计算|A-E|，即行列式$\left |\begin{matrix} 2& 2& 3\\ 1& -1& 0\\ -1& 2& 1\end{matrix} | \right.$，得到|A-E|=-1，不等于0，所以(A-E)可逆。接下来构造增广矩阵(A-E)|E求解(A-E)的逆矩阵，即：2 2 3 1 0 0 1 -1 0 0 1 0 -1 2 1 0 0 1　
第一行加上第三行2倍，第二行加上第三行，得：0 6 5 1 0 2 0 1 1 0 1 1 -1 .2 1 0 0 1　　
第一行减去第二行的6倍，第三行减去第二行的2倍，得：$0\quad 0\quad -1\quad 1\quad -6\quad -4$ $0\quad 1$ $10$ 1 1 $-1\quad 0$ $-1\quad 0$ -2 -1　
第二行加上第一行，第三行减去第一行，得：　0 $0\quad -1$ 1 $-6\quad -4$ 0 1 0 0 -5 -3 $-1\quad 0$ 0 -1 4 3　
第一行和第三行交换，并都乘-1,可得：10 0 1 -4 -3 0 1 0 0 -5 -3 0 0 1 -1 6 4　
则(A-E)^-1 $\left (\begin{matrix} 1& -4& -3\\ 1& -5& -3\\ -1& 6& 4\end{matrix} ) \right.$

步骤 4：计算X
1 -4 -3 X=B(A-E)^-1= $\left (\begin{matrix} 1& 2& 3\\ 2& 1& 3\\ 3& 1& 2\end{matrix} ) \right.$ 1 -5 -3 -1 6 4
0 4 3 = 0 5 3 2 -5 -4